Residui

[Rfabio94]

Ciao a tutti!
Facendo diversi esercizi sul calcolo degli integrali col metodo dei residui ho trovato difficoltà col seguente esercizio:
sia f una funzione definita da:
$ f(z)=1/(z(e^z-1))+z^4/(z^3+27),z\in C $ .
1)calcolare e classificare le singolarità della funzione.
2)calcolare l'integrale di f lungo il quadrilatero di vertici $ -4-i,4-i,4+i,-4+i $ percorso in senso antiorario

svolgimento:
1)
Ho calcolato le singolarità di questa funzione e le ho classificate:
\( z^3+27=0 \Longleftrightarrow z\in\{-3,3e^{iπ/3},3e^{iπ5/3}\} \) poli semplici
\( e^z-1=0 \Longleftrightarrow z=2kπi,k\in Z\setminus\{0\} \) poli semplici
\( z=0 \) polo doppio

2) per questo punto volevo utilizzare il metodo deri residui ma per il punto 0 ho un problema:
per calcolare il residuo di f in 0, essendo 0 un polo doppio, vorrei utilizzare la formula:

\( \lim_{z\rightarrow 0} \frac{d}{dz} (z^2f(z)) \)

mi ritrovo a dover calcolare il limite

\( \lim_{z\rightarrow 0} \frac{e^z-1-ze^z}{(e^z-1)^2} \)
ma non riesco a calcolarlo.
Qualcuno è in grado di darmi qualche consiglio? Grazie!!!

[gugo82]

Taylor o de l'Hôpital.

[Rfabio94]

Grazie mille!!!