Rappresentazione di Riesz

[anto_zoolander]

Ciao!

devo dimostrare che dato un $RR-$spazio(o $CC$) $X$ euclideo(dove $<,>$ è il prodotto scalare), allora per ogni funzionale $phi in X^(vee)$ esiste un unico $x in X$ per cui $phi(y)= , forally in X$

nb: con $X^(vee)$ intendo il duale dei funzionali limitati rispetto alla norma operatoriale, dove la norma su $X$ è quella indotta dal prodotto scalare.

Lo faccio nel caso reale.
Considerato $<,>$ il prodotto scalare e $f:X->X^(vee)$ definita come $f(x):= , forally in X$ è un isomorfismo lineare tra $X$ e il suo duale $X^(vee)$

1. è ben posta
la linearità di $f(x)$ è ovvia, segue dalla bilinearità di $<,>$

per la continuità basta notare che

$forall x in X, abs() leq norm(x)*norm(y) => abs()/norm(y)leqnorm(x)<+infty$

quindi $norm(f(x))leqnorm(x)<+infty, forallx in X$ ossia che $f(x)$ è un funzionale limitato

2. $f$ è un isomorfismo lineare
la linearità di $f$ segue direttamente dalla bilinearità di $<,>$
Sul fatto di essere un isomorfismo ho seguito questa strada:

se $x in Ker(f)$ allora $0=f(x)= , forall y in X$ e per $x=y$ si ha $ =0$ ma essendo il prodotto definito positivo deve essere $x=0$, pertanto è iniettivo.

se $X$ è finito dimensionale, per dimostrare la suriettività, posso andarci facilmente con la relazione dimensionale

$dimX^(vee)=dimX=dimKer(f)+dimIm(f)=dimIm(f) => X^(vee)=Im(f)$

fino a qui è corretto?

se $X$ è infinito dimensionale non ne ho idea di come costruire il funzionale.

ho anche un'altra domanda: in genere il duale di uno spazio vettoriale su $RR$ o $CC$ è completo? Sicuramente è completo rispetto alla sup-norma visto che $RR$ e $CC$ lo sono, ma rispetto alla norma operatoriale non saprei.

[fmnq]

Se $X$ ha dimensione infinita, e non fai altre ipotesi sulla sua struttura, esso non sarà isomorfo al suo duale; in effetti tutto quello che sai è che la $f$ che hai definito lì sopra è iniettiva, e identifica $X$ con un ben preciso sottospazio, proprio, del suo biduale, quello dei funzionali su \(X^\lor\) che sono della forma "valutazione in un vettore". Intuitivamente, in \((\mathbb R^\infty)^\lor\) ci sono elementi che non si possono scrivere come combinazione lineare finita degli elementi di quella che vorresti essere la base canonica (e tuttavia questi elementi sono ancora linearmente indipendenti). "Finita" è la parola su cui si regge questo controesempio.

[anto_zoolander]

Ti ringrazio per la risposta, il motivo è chiaro(penso).

Se invece aggiungessi l'ipotesi che $X$ sia uno spazio infinito dimensione, di Hilbert, cambierebbe qualcosa?
Leggendo una dimostrazione suppone che sia di Hilbert, e potendo fare ciò che ho fatto in dimensione finita(senza che lo sia), suppongo che questa ipotesi serva nel caso infinito.

[fmnq]

Meglio andare con ordine.

Anzitutto, penso sia naturale limitarsi a lavorare con spazi di Banach; in queste ipotesi, passare al duale di $X$ definisce un funtore controvariante \((-)^\lor : Ban \to Ban\) che ha sé stesso come aggiunto; questo significa in particolare che esiste una mappa di unità \(\eta_X : X \to (X^\lor)^\lor\); questa è la mappa che hai costruito, la cui immagine è fatta dai funzionali su \(X^\lor\) che sono della forma "valutazione in un vettore": mandare $x\in X$ nella valutazione in $x$ è un embedding isometrico (per dire la qual cosa ti serve una qualche forma del teorema di Hahn-Banach) di $X$ nel suo doppio duale.

Ora, si dice che uno spazio di Banach è "riflessivo" se $\eta_X$ è un isomorfismo; questo implica che le mappe di valutazione sanno rappresentare tutti i covettori. C'è un teorema, che è proprio il teorema di rappresentazione di Riesz, che dimostra che tutti gli spazi di Hilbert separabili sono riflessivi. Come puoi vedere dalla dimostrazione, molte delle proprietà che definiscono uno spazio di Hilbert si usano nella dimostrazione.

Ora, probabilmente tu vuoi conoscere un criterio che riconosca quali spazi sono riflessivi e quali no. Purtroppo succedono le cose più turpi: per esempio, la riflessività di uno spazio dipende dalla fondazione che scegli (ci sono modelli di ZF dove alcuni spazi sono riflessivi, tipo $l^p$ per \(p\in\{1,\infty\}\) (le successioni \((a_n)\) tali che \(\sum_n |a_n|^p < \infty\)), e classicamente non lo sono).

[otta96]

"fmnq":C'è un teorema, che è proprio il teorema di rappresentazione di Riesz, che dimostra che tutti gli spazi di Hilbert separabili sono riflessivi.

In realtà non serve l'ipotesi di separabilità.

Purtroppo succedono le cose più turpi: per esempio, la riflessività di uno spazio dipende dalla fondazione che scegli (ci sono modelli di ZF dove alcuni spazi sono riflessivi, tipo $l^p$ (le successioni \((a_n)\) tali che \(\sum_n |a_n|^p < \infty\)), e classicamente non lo sono).

Gli spazi $l^p$ sono riflessivi, almeno per $1

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[fmnq]

"otta96":In realtà non serve l'ipotesi di separabilità.

Ok, non ne ero sicuro.

Gli spazi $l^p$ sono riflessivi, almeno per $1
Sì, è quello che volevo dire, correggo.

[gugo82]

In realtà, anche quella di fermarsi a considerare spazi di Banach è una limitazione inutile... Se si vuole considerare la faccenda in tutta la sua generalità bisognerebbe guardare gli spazi vettoriali topologici localmente convessi.

Ad ogni buon conto, quello che non capisco del post iniziale è la notazione per il duale.
Ho sempre usato $H^**$ (o, al limite, $H^\prime$) per denotare lo spazio dei funzionali, in analogia al caso degli spazi $L^p$.


P.S.: In TeX esistono le parentesi angolari per il prodotto scalare.
I delimitatori \(\langle\) e \(\rangle\) si ottengono coi comandi \langle e \rangle.