Punto all'infinito
Ciao ragazzi, ho un problema sull'argomento del titolo.
Stavo facendo il seguente esercizio dove si richiedeva di studiare il punto all'infinito di $f(z)=1/(z-a)$
Per tale studio ho provato inizialmente a apportare il cambio variabile $t=1/(z-a)$ cioè $f(1/t+a)=t$ ed è evidentemente all'infinito regolare.
Inoltre interpretando t come uno sviluppo esso ha solo termini positivi ($t$ stesso), tutto quadra.
Se apportassi invece la sostituzione $t=1/t$ arriverei ad avere $f(1/t)=t/(1-at)$ ove in t=0 ancora non ho singolarità (coincide con quanto visto nel primo caso, come mi aspettavo), tuttavia se volessi svlupparla con taylor: $\sum_(k=0)^oo a^kt^(k+1)=t+at^2+a^2t^3+...$
In questo caso nello stesso punto $z=oo$ (ottenuto con due diverse sostituzioni, ma è lo stesso punto) è come se avessi due possibili sviluppi:
- nel primo caso ho: $t$ interpretandolo come sviluppo
-nel secondo: $t+at^2+a^2t^3+...$
Ma al finito non capita mai che nello stesso punto possa avere due sviluppi attorno ad uno stesso punto, è unico!
Penso di sbagliare qualche considerazione
Stavo facendo il seguente esercizio dove si richiedeva di studiare il punto all'infinito di $f(z)=1/(z-a)$
Per tale studio ho provato inizialmente a apportare il cambio variabile $t=1/(z-a)$ cioè $f(1/t+a)=t$ ed è evidentemente all'infinito regolare.
Inoltre interpretando t come uno sviluppo esso ha solo termini positivi ($t$ stesso), tutto quadra.
Se apportassi invece la sostituzione $t=1/t$ arriverei ad avere $f(1/t)=t/(1-at)$ ove in t=0 ancora non ho singolarità (coincide con quanto visto nel primo caso, come mi aspettavo), tuttavia se volessi svlupparla con taylor: $\sum_(k=0)^oo a^kt^(k+1)=t+at^2+a^2t^3+...$
In questo caso nello stesso punto $z=oo$ (ottenuto con due diverse sostituzioni, ma è lo stesso punto) è come se avessi due possibili sviluppi:
- nel primo caso ho: $t$ interpretandolo come sviluppo
-nel secondo: $t+at^2+a^2t^3+...$
Ma al finito non capita mai che nello stesso punto possa avere due sviluppi attorno ad uno stesso punto, è unico!
Penso di sbagliare qualche considerazione
Risposte
Lo studio del punto all’infinito si fa assoggettando il piano complesso all’inversione circolare $zeta = 1/z$ (questa trasformazione inverte tra loro i poli sud -$0$- e nord -$oo$- della sfera di Riemann): in tal modo $z =oo$ si trasforma in $zeta =0$ e viceversa.
Conseguentemente, per stabilire la tipologia di singolarità in $z = oo$ di una funzione $f(z)$ devi studiare la singolarità in $zeta = 0$ della funzione ausiliaria $g(zeta) := f(1/zeta)$.
Nel tuo caso $g(zeta) = zeta/(1-a zeta)$ e si vede che in $zeta = 0$ tale funzione ha un punto di regolarità; conseguentemente, $z = oo$ è un punto regolare di $f$.
Conseguentemente, per stabilire la tipologia di singolarità in $z = oo$ di una funzione $f(z)$ devi studiare la singolarità in $zeta = 0$ della funzione ausiliaria $g(zeta) := f(1/zeta)$.
Nel tuo caso $g(zeta) = zeta/(1-a zeta)$ e si vede che in $zeta = 0$ tale funzione ha un punto di regolarità; conseguentemente, $z = oo$ è un punto regolare di $f$.
In aggiunta all'enciclopedica risposta di Gugo, c'è da dire che la domanda è interessante. Il punto all'infinito si studia con la sostituzione $z=1/w$, ma che succede se poniamo $z=1/(w-a)$? Buona domanda; deve sicuramente essere la stessa cosa, ma adesso devo proprio scappare perché sto salendo su un aereo (!)
La superficie di Riemann compatta che ottieni in ambo i casi è la sfera di Riemann (l'hai solo traslata). Più tecnicamente, le traslazioni sono trasformazioni di Mobius. Di fatto, le trasformazioni di Mobius sono il gruppo delle proiettività della retta proiettiva complessa $\mathbb{CP}^1$, che è esattamente la sfera di Riemann.
Cercherò di rispondere a tutti in questo messaggio, ringraziandovi innanzitutto.
Quanto è stato esposto da gugo82 è in realtà quanto so, quanto introdotto da fmnq è uno spunto su cui indagherò (e ringrazio
)ma che allo stato attuale delle mie conoscenze non mi era noto.
Detto questo per far capire il mio grado il dubbio mi era sorto poiché come riportato da gugo sulle dispense del Prof.e sul libro si parla della trasformazione proposta da gugo e esercitandomi sul concetto mi è sorto ildubbio, ma se ponessi.... (dubbio in paertura)
Mi sembra di capire dalle risposte di fmnq e dissonance che in effetti sono concettualmente la stessa cosa e che si tratti di una "traslazione" ti tale sfera.
Appurato che siamo nel punto $z=oo$, tuttavia mi rimane il dubbio del perché a infinito (ottenuto con le due strade che ho indicato) ottenga per il punto "a infinito" due sviluppi diversi, non è strano? E' normale? Questo non l'ho mica capito e mi incuriosisce assai.
Quanto è stato esposto da gugo82 è in realtà quanto so, quanto introdotto da fmnq è uno spunto su cui indagherò (e ringrazio
)ma che allo stato attuale delle mie conoscenze non mi era noto.Detto questo per far capire il mio grado il dubbio mi era sorto poiché come riportato da gugo sulle dispense del Prof.e sul libro si parla della trasformazione proposta da gugo e esercitandomi sul concetto mi è sorto ildubbio, ma se ponessi.... (dubbio in paertura)
Mi sembra di capire dalle risposte di fmnq e dissonance che in effetti sono concettualmente la stessa cosa e che si tratti di una "traslazione" ti tale sfera.
Appurato che siamo nel punto $z=oo$, tuttavia mi rimane il dubbio del perché a infinito (ottenuto con le due strade che ho indicato) ottenga per il punto "a infinito" due sviluppi diversi, non è strano? E' normale? Questo non l'ho mica capito e mi incuriosisce assai.
Te lo dico in maniera informale, per usare le parole dei bimbi grandi ti serve un analista (che sono sicuro arriverà). E', poi, probabilmente solo uno dei modi di spiegare il fenomeno.
Lo sviluppo in serie di potenze di una funzione cambia (a volte poco, a volte drammaticamente) se sviluppi attorno a punti diversi.
Lo sviluppo in serie di potenze di una funzione cambia (a volte poco, a volte drammaticamente) se sviluppi attorno a punti diversi.
No certo in punti diversi sono d'accordissimo, ma il fatto è che mi sembrava lo stesso punto: sempre $z=oo$.
Però, essendo una traslazione -come mi spiegavi- fa si che non siano lo stesso punto nei due casi. Dovrei approfondire meglio la questione, ma mi avete dato ottimi spunti.
Vi ringrazio molto
Però, essendo una traslazione -come mi spiegavi- fa si che non siano lo stesso punto nei due casi. Dovrei approfondire meglio la questione, ma mi avete dato ottimi spunti.
Vi ringrazio molto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo