Provare che una funzione complessa è analitica

[que1]

Posso dimostrare che una funzione complessa è analitica usando le equazioni di Cauchy-riemann.
Praticamente, quello che sto facendo è confrontare le derivate lungo x e lungo idy. Ho due domande :

1) Perchè è sufficiente confrontare le derivate dx e idy ? Infatti, è possibile raggiungere un punto attraverso un'infinità di percorsi differenti.

2) Perchè è necessario che le derivate parziale siano continue al fine di provare che la funzione complessa sia analitica ?

Grazie

[Ernesto011]

Entrambe le tue domande sono parte dell'enunciato del teorema. Se vuoi una risposta formale, guardati una dimostrazione e dovresti risponderti da solo.

[edmz]

In realtà, affinché $f(z)$ risulti derivabile in senso complesso, deve essere che $ u(x,y) = \mathfrak Rf$ e $v(x,y) =\mathfrak I f$ siano differenziabili e tali che $ u_x = v_y \wedge u_y = -jv_x$ valuate in $z$ o $\forall z \in \Omega\subseteq \mathbb C$ se parliamo di olomorfia/analiticità.

Come dice Ernesto, i tuoi dubbi sono risposti nella dimostrazione (ma buona parte anche nelle ipotesi corrette).

[dissonance]

Vorrei aggiungere solo una cosa. Questo teorema, anche se di dimostrazione non difficile, non è affatto ovvio. In particolare,

1) Perchè è sufficiente confrontare le derivate dx e idy ? Infatti, è possibile raggiungere un punto attraverso un'infinità di percorsi differenti.

È per questo che le equazioni di Cauchy Riemann sono tanto importanti. Se per verificare l'olomorfia fosse necessario controllare una infinità di percorsi *per ogni punto*, sarebbe uno strazio.

In ogni caso se vuoi vedere qualche interpretazione grafica dell'analisi complessa consiglio di dare una occhiata a "Visual complex analysis" di Needham:

https://www.scribd.com/document/3594283 ... eedham-pdf