Proprietà polinomi di Hermite

Gabriele Pagnanelli
Salve, vi chiedo aiuto nel dimostrare questa proprietà dei polinomi di Hermite:
\(\displaystyle H_n(x+y)= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} H_{(n-k)}(y) x^k\)

Inoltre ho trovato una relazione simile dove compare un fattore 2 davanti la x

\(\displaystyle H_n(x+y)= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} H_{(n-k)}(y) (2x)^k\)

e non so bene a quale affidarmi.
Grazie in anticipo.

Risposte
Masaki1
Credo sia la seconda: per verificarlo ti basta utilizzare la seguente espressione integrale dei polinomi di Hermite:

\begin{equation}
H_n(y) = \frac{e^{y^2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (-2iu)^n e^{-u^2+2iu y} du
\end{equation}

Qua sotto ti posto la soluzione, in caso ti servisse per controllare:


Gabriele Pagnanelli
Grazie infinite, mi ha salvato

pilloeffe
Ciao Gabriele Pagnanelli,

Benvenuto sul forum!
Confermo che anche a me risulta la seconda, sussistendo la simpatica relazione seguente:

$H_n(x + y) = (H + 2x)^n = \sum_{k=0}^n ((n),(k)) H_{n-k}(y) (2x)^k $

ove $H^k = H_k(y) $

Masaki1
Comunque mi è venuto in mente che matematici e fisici usano definizioni leggermente diverse di polinomi di Hermite, quindi probabilmente la prima proprietà vale con la definizione usata dai matematici

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