Proprietà delta di Dirac
Ciao a tutti, nel corso di fisica quantistica abbiamo visto la nota proprietà della delta di Dirac
$ delta (a(x-x_0)) =1/|a|delta(x-x_0) $
e si dimostra facilmente se $ ain mathbb(R) $. Il professore ha detto che vale anche se $ a \in mathbb(C) $, ho provato a dimostrarlo ma mi si sono inceppato.
Nel caso $ ain mathbb(R) $ si calcola l'integrale $ int_(-oo )^(+oo) delta(a(x-x_0))f(x) dx $
si fa la sostituzione $ x' = a(x-x_0) $ e subito si arriva alla conclusione, nel caso $ ain mathbb(C) $ si può fare una sostituzione del genere? Sono andato a rivedermi l'integrale su una curva in campo complesso e ho visto che questo si calcola alla fine come 4 integrali di Riemann, quindi credo che questo sia lecito, quindi vorrei solo una conferma su questo fatto. Una volta fatto ciò però non so come andare avanti perchè all'interno dell'argomento della delta ho un numero complesso. E purtroppo nel corso di metodi matematici le distribuzioni le avevamo definite solo sui reali. Come si fa?
Ho fatto l'esame di metodi matematici l'anno scorso e non mi ricordo granchè. Perdonatemi se dico sciocchezze.
$ delta (a(x-x_0)) =1/|a|delta(x-x_0) $
e si dimostra facilmente se $ ain mathbb(R) $. Il professore ha detto che vale anche se $ a \in mathbb(C) $, ho provato a dimostrarlo ma mi si sono inceppato.
Nel caso $ ain mathbb(R) $ si calcola l'integrale $ int_(-oo )^(+oo) delta(a(x-x_0))f(x) dx $
si fa la sostituzione $ x' = a(x-x_0) $ e subito si arriva alla conclusione, nel caso $ ain mathbb(C) $ si può fare una sostituzione del genere? Sono andato a rivedermi l'integrale su una curva in campo complesso e ho visto che questo si calcola alla fine come 4 integrali di Riemann, quindi credo che questo sia lecito, quindi vorrei solo una conferma su questo fatto. Una volta fatto ciò però non so come andare avanti perchè all'interno dell'argomento della delta ho un numero complesso. E purtroppo nel corso di metodi matematici le distribuzioni le avevamo definite solo sui reali. Come si fa?
Ho fatto l'esame di metodi matematici l'anno scorso e non mi ricordo granchè. Perdonatemi se dico sciocchezze.
Risposte
Non sono sciocchezze, hai ragione, è un po' una seccatura andare a vedere tutti i dettagli. La proprietà di sicuro è vera ma confermo che ci sono dei fatti tecnici seccanti, come sottolinei. Esattamente la stessa cosa succede per la funzione Gaussiana. Si può prendere un fattore complesso nella sua definizione? Quanto vale la trasformata di Fourier di \(e^{-i x^2}\), conoscendo quella di \(e^{-x^2}\)? Per dare una dimostrazione formale di questa formula ci vuole un pochino di analisi complessa. Per la delta è lo stesso: infatti,
\[
\delta(x)=\lim_{a\to 0}\frac1a e^{-\frac{x^2}{a^2}}.\]
\[
\delta(x)=\lim_{a\to 0}\frac1a e^{-\frac{x^2}{a^2}}.\]
va bene grazie mille, allora aspetterò ad addentrarmi in questa dimostrazione.
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