Proprietà della funzione misura di insiemi limitati.

[compa90]

Buonasera.

Definizione: Si definisce intervallo superiormente semiaperto $I$ di $RR^n$ come

$I:=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times...\times[a_n,b_n)$

dove $a_i,b_i \in RR$ e $a_i \le b_i$ per ogni $i=1,2,...,n$.

Definizione: Si definisce pluri-intervallo superiormente semiaperto $P$ di $RR^n$ come

$P=I_1\cup I_2 \cup ... \cup I_k$

dove $I_j$ con $j=1,2,...,k$, dove $k \in NN $ è un intervallo superiormente semiaperto di $RR^n$

Sia $X \subseteq RR^n$ limitato. Si definiscono misura interna di $X$ e la indico con $m(X)_i$, e misura esterna di $X$ e la indico con $m(X)_e$ le rispettive quantità

$m(X)_i=\text{sup}\{m(P)\ : \ P \in \mathcal{P}, \ P\subseteq X\}$ $m(X)_e=\text{inf}\{m(P)\ : \ P \in \mathcal{P}, \ X\subseteq P\}$

Vorrei provare a verificare che vale $m(X)_i\le m(X)_e$.

Procedo nel modo seguente, dove faccio le seguenti posizioni per non appesantire le notazioni

$A:={m(P)\ : \ P \in \mathcal{P}, \ P\subseteq X\}, B:=\{m(P)\ : \ P \in \mathcal{P}, \ X\subseteq P\}$

inoltre

$L:=\text{sup}(A), l:=\text{inf}(B)$

Si ha allora
\begin{cases}\ L\ge a \ \forall a \in A \\
\forall \epsilon >0 \ \exists a \in A \ : \ L-\epsilon \begin{cases}\ l\le b \ \forall b \in B \\
\forall \epsilon >0 \ \exists b \in B \ : \ l+\epsilon>b\end{cases}

Ricordo che la funzione misura $m : P \in \mathcal{P} \ to m(P) \in [0,+\infty)$ è crescente rispetto all'inclusione, ossia

$P\subseteq P' \to m(P)\le m(P'), \ P, P' \in \mathcal{P}$

Poiché i pluri-intervalli $P$ che definiscono gli elementi di $A$ sono contenuti in $X$, e i pluri-intervalli $P$ che definiscono gli elementi di $B$ contengono $X$, segue allora che $a \le b, \forall a \in A, \forall b \in B$.

Si ha allora che per ogni $\epsilon >0$ segue che $L-\epsilon
Proprieta': $a, b \in \RR$. Se per ogni $\epsilon>0$ si ha che $a
Va bene ?

Saluti.

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Si' e' giusto. L'unica cosa che avrei fatto un piu' e' definire \(A\) e \(B\) come \(A_X\) e \(B_X\) (o simili), giusto per sottolineare la dipendenza da \(X\).