Proposizioni sulla trasformata di fourier in S(R) e L^2(R)
Vi posto una serie di proposizioni e i relativi dubbi a riguardo per fare un po' di ordine anche in mente 
(TF = "trasformata di Fourier")
1) "la TF è un'applicazione biunivoca di $S(mathbb(R))$ in sè. Vale inoltre l'identità $ hat(hat(f))(-x) = (2pi)f(x) $ "
la dimostrazione fornitami mostra come $ hat(f) in S(mathbb(R)) $ ma non fa cenno alla biunivocità: per dimostrare la biunivocità non dovrei dimostrare suriettività e iniettività? se non è esplicitamente dimostrato in questi termini probabilmente è perchè è immadiato ma a me sfugge come al solito
2) "se $ f in S(mathbb(R)) $ allora vale l'identità di Plancharel $ ||hat(f)||_(L^2)=sqrt(2pi)||f||_(L^2) $ "
3) "$S(mathbb(R))$ è denso in $L^2(mathbb(R))$"
di queste non sono strettamente necessarie le dimostrazioni per superare l'esame (anche se sarei curioso della dimostrazione della 3) che non ho trovato). il dubbio è sul significato legato a queste due proposizioni: (da sbobinature) la prima significa che la norma in $L^2$ si conserva a meno di un fattore costante mentre la seconda significa che l'applicazione che associa a una funzione la norma in $L^2$ della sua trasformata è un'applicazione continua; (da appunti scritti dal prof. Alvino) "esiste quindi una successione $ {f_n} sube S(mathbb(R)) $ che tende a una funzione $f in L^2(mathbb(R))$. [e su questo ci siamo perchè è cio che significa la 3) ] Per l'identità di plancherel si ha $ ||hat(f_n)-hat(f_m)||_(L^2)= ||f_n-f_m||_(L^2) $. La successione di trasformate è quindi di Cauchy in $L^2$, il suo limite è per definizione la trasformata di Fourier di f." (non mi è chiaro perchè valga quella relazione nè tantomeno il suo significato in generale)
"discende che"
4) "la TF è applicazione biunivoca da $L^2(mathbb(R))$ in sè. vale inoltre l'identità di plancherel $"
anche qui non ho necessità della dimostrazione (rimarrebbe nel caso lo stesso dubbio per la proposizione 1) di sopra), piuttosto non mi è chiaro in che termini le 2) e 3) comportano questa conseguenza
(TF = "trasformata di Fourier")
1) "la TF è un'applicazione biunivoca di $S(mathbb(R))$ in sè. Vale inoltre l'identità $ hat(hat(f))(-x) = (2pi)f(x) $ "
la dimostrazione fornitami mostra come $ hat(f) in S(mathbb(R)) $ ma non fa cenno alla biunivocità: per dimostrare la biunivocità non dovrei dimostrare suriettività e iniettività? se non è esplicitamente dimostrato in questi termini probabilmente è perchè è immadiato ma a me sfugge come al solito
2) "se $ f in S(mathbb(R)) $ allora vale l'identità di Plancharel $ ||hat(f)||_(L^2)=sqrt(2pi)||f||_(L^2) $ "
3) "$S(mathbb(R))$ è denso in $L^2(mathbb(R))$"
di queste non sono strettamente necessarie le dimostrazioni per superare l'esame (anche se sarei curioso della dimostrazione della 3) che non ho trovato). il dubbio è sul significato legato a queste due proposizioni: (da sbobinature) la prima significa che la norma in $L^2$ si conserva a meno di un fattore costante mentre la seconda significa che l'applicazione che associa a una funzione la norma in $L^2$ della sua trasformata è un'applicazione continua; (da appunti scritti dal prof. Alvino) "esiste quindi una successione $ {f_n} sube S(mathbb(R)) $ che tende a una funzione $f in L^2(mathbb(R))$. [e su questo ci siamo perchè è cio che significa la 3) ] Per l'identità di plancherel si ha $ ||hat(f_n)-hat(f_m)||_(L^2)= ||f_n-f_m||_(L^2) $. La successione di trasformate è quindi di Cauchy in $L^2$, il suo limite è per definizione la trasformata di Fourier di f." (non mi è chiaro perchè valga quella relazione nè tantomeno il suo significato in generale)
"discende che"
4) "la TF è applicazione biunivoca da $L^2(mathbb(R))$ in sè. vale inoltre l'identità di plancherel $"
anche qui non ho necessità della dimostrazione (rimarrebbe nel caso lo stesso dubbio per la proposizione 1) di sopra), piuttosto non mi è chiaro in che termini le 2) e 3) comportano questa conseguenza
Risposte
Qualche idea:
1. Indicando con $ \mathcal{F} : \mathcal{S} (\mathbb{R}) \to \mathcal{S} (\mathbb{R})$ l'operatore trasformata di Fourier, i.e. $ \mathcal{F} (f) = \hat{f} $, e con $R : \mathcal{S} (\mathbb{R}) \to \mathcal{S} (\mathbb{R})$ l'operatore di cambio segno, i.e. $R f(x) = f(-x)$, hai che $ \mathcal{F} (\mathcal{F} (R (f))) = 2 \pi f$, cioè $\mathcal{F} R $ (modulo fattore moltiplicativo) è l'inverso destro di $\mathcal{F}$; quindi $\mathcal{F} $ è suriettivo. Inoltre è chiaro che $ \mathcal{F} R = R \mathcal{F} $ (cambio di variabili nell'integrale). Da qui concludi.
2. e 3. Non ho capito i tuoi dubbi. La dimostrazione della densità la trovi in qualsiasi libro che tratti l'argomento (il Grubb per esempio).
4. Siccome $ \mathcal{S} (\mathbb{R}) $ è denso in $L^2$, per ogni $ g \in L^2$ esiste una successione $ \{g_n\} \subseteq \mathcal{S}$ tale che \( \| f_n - g \|_{L^2} \to 0\) se $n \to 0$; in particolare la successione è di Cauchy. Il punto è che vuoi definire $ \mathcal{F} (g) $; come si fa? Per esempio $\mathcal{F} (g)$ è il limite di $ \mathcal{F} (g_n) $ in $L^2$. Tale limite esiste? Sì, perché $ \mathcal{F} (g_n)$ è di Cauchy per via di 2. Lascio a te i dettagli (linearità, biiettività ed unicità).
1. Indicando con $ \mathcal{F} : \mathcal{S} (\mathbb{R}) \to \mathcal{S} (\mathbb{R})$ l'operatore trasformata di Fourier, i.e. $ \mathcal{F} (f) = \hat{f} $, e con $R : \mathcal{S} (\mathbb{R}) \to \mathcal{S} (\mathbb{R})$ l'operatore di cambio segno, i.e. $R f(x) = f(-x)$, hai che $ \mathcal{F} (\mathcal{F} (R (f))) = 2 \pi f$, cioè $\mathcal{F} R $ (modulo fattore moltiplicativo) è l'inverso destro di $\mathcal{F}$; quindi $\mathcal{F} $ è suriettivo. Inoltre è chiaro che $ \mathcal{F} R = R \mathcal{F} $ (cambio di variabili nell'integrale). Da qui concludi.
2. e 3. Non ho capito i tuoi dubbi. La dimostrazione della densità la trovi in qualsiasi libro che tratti l'argomento (il Grubb per esempio).
4. Siccome $ \mathcal{S} (\mathbb{R}) $ è denso in $L^2$, per ogni $ g \in L^2$ esiste una successione $ \{g_n\} \subseteq \mathcal{S}$ tale che \( \| f_n - g \|_{L^2} \to 0\) se $n \to 0$; in particolare la successione è di Cauchy. Il punto è che vuoi definire $ \mathcal{F} (g) $; come si fa? Per esempio $\mathcal{F} (g)$ è il limite di $ \mathcal{F} (g_n) $ in $L^2$. Tale limite esiste? Sì, perché $ \mathcal{F} (g_n)$ è di Cauchy per via di 2. Lascio a te i dettagli (linearità, biiettività ed unicità).
"Delirium":
1. Indicando con $ \mathcal{F} : \mathcal{S} (\mathbb{R}) \to \mathcal{S} (\mathbb{R})$ l'operatore trasformata di Fourier, i.e. $ \mathcal{F} (f) = \hat{f} $, e con $R : \mathcal{S} (\mathbb{R}) \to \mathcal{S} (\mathbb{R})$ l'operatore di cambio segno, i.e. $R f(x) = f(-x)$, hai che $ \mathcal{F} (\mathcal{F} (R (f))) = 2 \pi f$, cioè $\mathcal{F} R $ (modulo fattore moltiplicativo) è l'inverso destro di $\mathcal{F}$; quindi $\mathcal{F} $ è suriettivo. Inoltre è chiaro che $ \mathcal{F} R = R \mathcal{F} $ (cambio di variabili nell'integrale). Da qui concludi.
perdonami ma pur avendo capito i passaggi non ho capito come hai dimostrato suriettività e iniettività
"Delirium":
2. e 3. Non ho capito i tuoi dubbi. La dimostrazione della densità la trovi in qualsiasi libro che tratti l'argomento (il Grubb per esempio).
di questo non ho capito perchè: se vale l'identità di plancherel allora $ ||hat(f_n)-hat(f_m)||_(L^2)= ||f_n-f_m||_(L^2) $, un motivo per cui non riesco a capire è perchè nell'identità compare un fattore costante che non compare nella seconda relazione, magari se puoi mostrarmi i passaggi con cui arrivarci te ne sarei infinitamente grato
"Delirium":
4. Siccome $ \mathcal{S} (\mathbb{R}) $ è denso in $L^2$, per ogni $ g \in L^2$ esiste una successione $ \{g_n\} \subseteq \mathcal{S}$ tale che \( \| f_n - g \|_{L^2} \to 0\) se $n \to 0$; in particolare la successione è di Cauchy. Il punto è che vuoi definire $ \mathcal{F} (g) $; come si fa? Per esempio $\mathcal{F} (g)$ è il limite di $ \mathcal{F} (g_n) $ in $L^2$. Tale limite esiste? Sì, perché $ \mathcal{F} (g_n)$ è di Cauchy per via di 2. Lascio a te i dettagli (linearità, biiettività ed unicità).
a questo punto il dubbio è lo stesso del precedente: perchè se vale plancherel allora la trasformata è di cauchy?
Ti ho mostrato che se vale $\hat{\hat{f}}(-x)=2 \ pi f(x)$ allora l'operatore trasformata di Fourier ha un'inversa, e quindi è invertibile.
All'altra domanda non rispondo, non ci credo che non ci arrivi da solo. Scrivi la definizione di successione di Cauchy per la successione delle trasformate.
All'altra domanda non rispondo, non ci credo che non ci arrivi da solo. Scrivi la definizione di successione di Cauchy per la successione delle trasformate.
Una cosa: il fattore costante in Plancherel non è rilevante, tra l'altro mettendo qualche \(2\pi\) nella definizione di trasformata di Fourier si può fare sparire.
$ S $ denso in $ L^2 $, quindi $ EE {f_n} sube S $ convergente ad $ f in L^2 $, se convergente è in partiocolare anche di Cauchy in $ L^2 hArr AAepsi>0EEnu :AAn,m >nurArr||f_n-f_m||_(L^2)
In ogni caso, fattore costante o meno la successione $ {hat(f)_m} $ è evidentemente di Cauchy: a questo punto è giusto dire "se essa converge allora si definisce TF in $L^2$ il suo limite"? (inoltre: la convergenza di questa serie di Cauchy di trasformate è assicurata per qualche motivo?)
Perdonami ma ora mi viene un'altra domanda: se abbiamo sfruttato le funzioni di $S$ che stanno nell'intersezione $L^1 nn L^2$ per definire la TF anche per funzioni $ L^2 $, in che modo viene estesa la definizione per quelle funzioni che stanno in $L^2$ ma non in $L^1$?
In ogni caso, fattore costante o meno la successione $ {hat(f)_m} $ è evidentemente di Cauchy: a questo punto è giusto dire "se essa converge allora si definisce TF in $L^2$ il suo limite"? (inoltre: la convergenza di questa serie di Cauchy di trasformate è assicurata per qualche motivo?)
Perdonami ma ora mi viene un'altra domanda: se abbiamo sfruttato le funzioni di $S$ che stanno nell'intersezione $L^1 nn L^2$ per definire la TF anche per funzioni $ L^2 $, in che modo viene estesa la definizione per quelle funzioni che stanno in $L^2$ ma non in $L^1$?
"dissonance":
Una cosa: il fattore costante in Plancherel non è rilevante, tra l'altro mettendo qualche \(2\pi\) nella definizione di trasformata di Fourier si può fare sparire.
questo l'avevo immaginato: ai fini della convergenza si sa che la definizione di limite è ugualmente valida se ad $epsi$ è moltiplicata una costante, però non ero certo che il fattore fosse irrilevante in questo caso
"lukixx":
[...] In ogni caso, fattore costante o meno la successione $ {hat(f)_m} $ è evidentemente di Cauchy: a questo punto è giusto dire "se essa converge allora si definisce TF in $L^2$ il suo limite"? (inoltre: la convergenza di questa serie di Cauchy di trasformate è assicurata per qualche motivo?) [...]
Si', si fa cosi'. La convergenza e' assicurata perche' $L^2$ e' completo, quindi uno spazio metrico in cui ogni successione di Cauchy e' convergente.
"lukixx":
[...] se abbiamo sfruttato le funzioni di $S$ che stanno nell'intersezione $L^1 nn L^2$ per definire la TF anche per funzioni $ L^2 $, in che modo viene estesa la definizione per quelle funzioni che stanno in $L^2$ ma non in $L^1$?
$ \mathcal{S} $ e' denso in $L^2 $ quindi riesci a dare una definizione di Trasformata di Fourier su $L^2$ passando per le funzioni di Schwartz. Quello che devi fare e' verificare che la "nuova" definizione e' consistente con quella data per funzioni $L^1$ (cioe' mostrando che le due definizioni coincidono per funzioni in $ L^1 \cap L ^2$). Anche la dimostrazione di questo fatto sta in qualsiasi libro sull'argomento.
"Delirium":
$ \mathcal{S} $ e' denso in $L^2 $ quindi riesci a dare una definizione di Trasformata di Fourier su $L^2$ passando per le funzioni di Schwartz. Quello che devi fare e' verificare che la "nuova" definizione e' consistente con quella data per funzioni $L^1$ (cioe' mostrando che le due definizioni coincidono per funzioni in $ L^1 \cap L ^2$). Anche la dimostrazione di questo fatto sta in qualsiasi libro sull'argomento.
probabilmente ho fatto confusione sul significato di densità di un insieme rispetto a un altro: $ S $ denso in $ L^2 $ significa che esiste una successione del primo insieme il cui limite è una funzione del secondo insieme e non del primo (praticamente come $mathbb(Q)$ è denso in $mathbb(R)$ con esempio il famoso limite che definisce il numero di nepero, che non è razionale). quindi avendo sfruttato la densità in $L^2$ ho definito la TF per quelle funzioni che stanno in $L^2$ e non in $S$, cioè quelle che sono le funzioni limite di successioni di schwartz. e poi ovviamente come dici tu, bisogna dimostrare che questa "nuova definizione" sia compatibile con la vecchia ovvero che se una funzione è contemporanemente $L^1$ e $L^2$ queste devono coincidere
Esatto!
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