Problemi con l'anti trasformata di fourier per trovare la risposta nel tempo del sistema

[burungu]

Buonasera,
Ho un grosso problema nel fare una IFT dalla risposta in frequenza di un sistema di secondo ordine alla risposta nel tempo, $ X(t)=F^-1(X(w)) $ quando il sistema è soggetto a forze non periodiche.
Prendiamo, per esempio, un semplice sistema differenziale di secondo ordine non smorzato soggetto ad una forza del tipo :
$ F(t)=u(t)*sin(w1t) $
dove $ u(t)={ ( 1rarr t>0 ),( 0 rarrt<0 ):} $
Srivendo l'equazione del moto avremo:
$ mddot(x)+kx= F(t) $
Omettendo le varie FT, la funzione di trasferimento di questo sistema sarà:
$ H(w)=((X(w))/(F(w)))=1/(-mw^2+k) $
e la forza:
$ F(w)= (w1)/((w1)^2 + w^2) +pi/(2i) *[delta (w-w1)-delta(w+w1)] $
A questo punto posso esprimere $ X(w)=H(w)*F(w) $
il mio problema è come riuscire a fare la IFT di X(w)?
Non riesco a ricondurmi a nessuna trasformazione notevole. Mi potreste aiutare?

[Quinzio]

$ mddot(x)+kx= F(t) $

trasformata diventa

$ (-m \omega^2+k ) X = F $

da cui

$ X = F / (k-m \omega^2 )$.

Con

$ F= \omega_1/(\omega_1^2 + \omega^2) +pi/(2i) *[delta (\omega-\omega_1)-delta(\omega+\omega_1)] $

abbiamo che

$ X = FH = \omega_1/((\omega_1^2 + \omega^2)(k-m \omega^2 )) +pi/(2i) [delta (\omega-\omega_1)-delta(\omega+\omega_1)] /(k-m \omega^2 ) $

$ X = A / (\omega_1^2 + \omega^2) + B/(k-m \omega^2 ) + pi/(2i) [delta (\omega-\omega_1)-delta(\omega+\omega_1)] /(k-m \omega_1^2 ) $

Rimangono da trovarsi i coefficienti $A$ e $B$, tenendo conto che

$B - mA = 0 $
e
$kA + \omega_1^2B = \omega_1 $
...

Poi le antitraformate sono immediate.