Problema serie di potenze
Salve a tutti, in un problema di "Metodi matematici per l'ingegneria", viene utilizzato il metodo di Frobenius e delle serie di potenze per risolvere un problema. Siccome il mio dubbio riguarda un passaggio sulle serie prevalentemente, allora ho preferito scrivere in questa sezione. Dalle soluzioni del mio prof, facendo i passaggi iniziali che vi evito perchè non servono, arriviamo qui:
$\sum_{k=0}^infty k(k-1)a_kx^k -2\sum_{k=0}^infty ka_kx^k +(x^2+2)\sum_{k=0}^infty a_kx^k=0$
e dunque:
$\sum_{k=0}^infty (k(k-1)a_k-2ka_k+2a_k)x^k+\sum_{k=0}^infty a_kx^(k+2)$
E fin qui ci sono. Il mio obiettivo è trovare i coefficienti $a_k$ e in genere ciò che facciamo è cercare una relazione ricorsiva fra di loro, cosa che riesco a fare ma solo per $k>=2$ altrimenti avremmo coefficienti con pedice negativo.
Il problema è nel passaggio seguente, dove il prof scrive:
"Isolando il termine noto e di primo grado otteniamo":
$\{(2a_0=0),(k(k-1)a_k-2ka_k+2a_k+a_(k-2)=0 per k>=2):}$
E c'è scritto che la prima è nulla dal termine di primo grado.
Il problema è qui, la seconda relazione l'ho capita, e trovando la $a_k$ in funzione della $a_k-2$ troviamo una forma ricorsiva con cui calcolarli ma da dove ha dedotto che $a_0=0"$? E' questo che proprio non riesco a capire.... Perchè da $k>=2$ ho una forma per dedurre i coefficienti ma per $a_0$ e $a_1$ non ho nulla, e mi chiedo come abbia trovato $a_0=0$, mi date una mano?
Grazie mille
$\sum_{k=0}^infty k(k-1)a_kx^k -2\sum_{k=0}^infty ka_kx^k +(x^2+2)\sum_{k=0}^infty a_kx^k=0$
e dunque:
$\sum_{k=0}^infty (k(k-1)a_k-2ka_k+2a_k)x^k+\sum_{k=0}^infty a_kx^(k+2)$
E fin qui ci sono. Il mio obiettivo è trovare i coefficienti $a_k$ e in genere ciò che facciamo è cercare una relazione ricorsiva fra di loro, cosa che riesco a fare ma solo per $k>=2$ altrimenti avremmo coefficienti con pedice negativo.
Il problema è nel passaggio seguente, dove il prof scrive:
"Isolando il termine noto e di primo grado otteniamo":
$\{(2a_0=0),(k(k-1)a_k-2ka_k+2a_k+a_(k-2)=0 per k>=2):}$
E c'è scritto che la prima è nulla dal termine di primo grado.
Il problema è qui, la seconda relazione l'ho capita, e trovando la $a_k$ in funzione della $a_k-2$ troviamo una forma ricorsiva con cui calcolarli ma da dove ha dedotto che $a_0=0"$? E' questo che proprio non riesco a capire.... Perchè da $k>=2$ ho una forma per dedurre i coefficienti ma per $a_0$ e $a_1$ non ho nulla, e mi chiedo come abbia trovato $a_0=0$, mi date una mano?
Grazie mille
Risposte
Il secondo membro dell'uguaglianza è identicamente nullo, quindi tutti i coefficienti di Taylor del primo membro devono esser nulli.
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