Problema con sviluppo di Laurent

[trewq12]

Salve, ho qualche problema con i seguenti:
1) Sviluppare $f(z) = \frac{z}{sin^2z}$ in $z=\pi$;
2) Dimostrare che $\frac{1}{sinz} = \frac{1}{z} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nz}{z^2-(n\pi)^2}$;

Per il primo ho provato così:
$sin^2z = \frac{1-cos2z}{2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2} \frac{(2z)^{2n}}{(2n)!}$
quindi
$\frac{1}{sin^2z} = \frac{1}{z^2} [\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} ( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2} \frac{(2z)^{2n-2}}{(2n)!} )^k ]$.

Dunque $f(z) = \frac{1}{z} [\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} ( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2} \frac{(2z)^{2n-2}}{(2n)!} )^k ]$.

Per averla in $z=\pi$ in teoria dovrei sostituire $z \rightarrow z-\pi$; il problema è che la soluzione che mi è stata data è $f(z) = \frac{\pi}{(z-\pi)^2} + \frac{1}{(z-\pi)} + \frac{\pi}{3} + \frac{z-\pi}{3} + ...$ e su Wolfram sembrerebbe esserci un (2n-1)! al posto di (2n)!.

Il secondo ho provato allo stesso modo ma non capisco come far uscire quel denominatore nella sommatoria.

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda il secondo esercizio, non si tratta di uno sviluppo in serie di Laurent. Tuttavia, premesso che:

Residuo $[n in ZZ] ^^ [n$ pari$]$

$Res(1/sinz,n\pi)=lim_(z->n\pi)(z-n\pi)/sinz=lim_(z->n\pi)(z-n\pi)/sin(z-n\pi)=1$

Residuo $[n in ZZ] ^^ [n$ dispari$]$

$Res(1/sinz,n\pi)=lim_(z->n\pi)(z-n\pi)/sinz=lim_(z->n\pi)(z-n\pi)/(-sin(z-n\pi))=-1$

si ha, formalmente:

$1/sinz=$

$=1/z-1/(z+\pi)-1/(z-\pi)+1/(z+2\pi)+1/(z-2\pi)-1/(z+3\pi)-1/(z-3\pi)+1/(z+4\pi)+1/(z-4\pi)+...=$

$=1/z-(2z)/(z^2-\pi^2)+(2z)/(z^2-4\pi^2)-(2z)/(z^2-9\pi^2)+(2z)/(z^2-16\pi^2)+...=$

$=1/z+\sum_{n=1}^(+oo)(-1)^n(2z)/(z^2-n^2\pi^2)$

Anche se non si tratta di una dimostrazione rigorosa, credo possa bastare per soddisfare la consegna.

[trewq12]

Ok grazie, credo di aver capito.

[Studente Anonimo]

"Hernum":
... il problema è che la soluzione che mi è stata data è ...

Per quanto riguarda il primo esercizio, poichè determinare il reciproco di una serie di potenze è piuttosto complesso, non vorrei che la consegna prevedesse solo i primi quattro termini. In questo caso:

$f(z)=z/sin^2z=(2z)/(1-cos2z)=(2(z-\pi+\pi))/(1-cos2(z-\pi))=$

$=(2\pi+2(z-\pi))/(1-1+2(z-\pi)^2-2/3(z-\pi)^4+...)=(2\pi+2(z-\pi))/(2(z-\pi)^2[1-1/3(z-\pi)^2+...])=$

$=(\pi+(z-\pi))/(z-\pi)^2[1-1/3(z-\pi)^2+...]^(-1)=(\pi+(z-\pi))/(z-\pi)^2[1+1/3(z-\pi)^2+...]=$

$=(\pi+(z-\pi))/(z-\pi)^2+\pi/3+1/3(z-\pi)+...=\pi/(z-\pi)^2+1/(z-\pi)+\pi/3+1/3(z-\pi)+...$

poichè:

$[1-1/3(z-\pi)^2+...][1+1/3(z-\pi)^2+...]=1+O(z-\pi)^4 rarr$

$rarr [1-1/3(z-\pi)^2+...]^(-1)=1+1/3(z-\pi)^2+...$

[trewq12]

In effetti così risulta molto più semplice, grazie mille dell'aiuto.