Problema con integrale doppio

[cozzaciccio]

Salve a tutti, sto avendo difficoltà nel risolvere questo integrale doppio:

$\int int_T |x|/(x^2+y^2)^2 dxdy$

dove T è il sottoinsieme di $RR^2$ delimitato dalle rette di equazioni $y=2$, $y=x/2+1$, $y=-x/2+1$.

Ho proprio problemi nello svolgimento, disegno il dominio T ma non so come procedere, qualcuno mi può dare una mano?

EDIT: Ho corretto l'integrale, mi ero sbagliato

[Mephlip]

Cosa sai di teoria sull'integrazione in più variabili? Ad esempio, conosci le formule di riduzione?

[cozzaciccio]

So le varie tecniche, coordinate polari e così via, compresa la formula di riduzione.
Pensavo di procedere disegnando il dominio che deduco sia normale rispetto ad Y, noto che è costituito da due sottodomini $ T = D_1 uu D_2$
con:
$D_1 = {AA (x,y) in RR^2 : 0
$D_2 = {AA (x,y) in RR^2 : 1
E vado ad integrare rispetto a questi. Ho scomposto bene il dominio? Il mio ragionamento è corretto?

EDIT: Ho corretto l'integrale, mi ero sbagliato

[Mephlip]

Hai detto che hai disegnato l'insieme, come mai ti viene che $0 \leq y \leq 2$?
Se disegni quelle tre rette ti rendi conto che $y$ varia tra $1$ e $2$, quindi $T$ non può essere descritto da $D_1 \cup D_2$ come hai scritto.
Va bene vederlo come insieme normale rispetto all'asse $y$, è sicuramente la via più furba; tuttavia ora devi imparare a "girare la testa", nel senso seguente: graficamente pensa di fissare un $y_0$ nell'intervallo $[1,2]$ delle $y$ e guarda le intersezioni che tale retta orizzontale $y=y_0$ forma con le altre due rette $\frac{x}{2}+1$ e $-\frac{x}{2}+1$ espresse come funzioni di $y$.
Da ciò riesci a dedurre in che intervallo varierà la $y$ (le funzioni di $y$, ossia le rette, le hai già espresse correttamente nell'insieme $D_2$).

[cozzaciccio]

Ciao e grazie della risposta, per avere la certezza di aver capito, non devo considerare la parte in cui $0<=y<=1$ perchè appunto non è delimitata anche da y = 2 come invece richiede l'esercizio? grazie mille.

Ultimo dubbio, avendo un valore assoluto ed un dominio T simmetrico rispetto all'asse y, poi potrei andare ad integrare la x solamente rispetto a $0

Cita

Segnala

[Mephlip]

Prego! Per quanto riguarda la simmetria sì, è corretto.
Per quanto riguarda invece il dominio, esatto; quando il testo dice "delimitata dalle rette..." significa che la regione limitata del piano individuata da tali rette costituisce l'insieme di integrazione, se tracci le rette ti viene un triangolo di vertici $(0,1)$, $(-2,2)$ e $(2,2)$. Qui trovi un disegno dell'insieme.
Se riesci a vedere il disegno noterai che $y$ varia tra $1$ e $2$. Torna ora?

[cozzaciccio]

Grazie davvero, tutto chiaro.

[Mephlip]

Prego! Ora che rileggo volevo solo precisarti una cosa: puoi usare la simmetria rispetto all'asse $y$ non solo perché nella funzione integranda compare $|x|$ ma anche perché compare $x^2$ al denominatore. In generale devi assicurarti che, oltre all'insieme di integrazione, anche la funzione sia pari in $x$. Immagino che lo sapessi già, lo dico giusto per completezza.