Primitiva della funzione inversa

[solaàl]

Sia \(f : I \to J\) un omeomorfismo tra due intervalli di \(\mathbb R\); se \(F\) è una primitiva di \(f\), allora
\[
\int f^{-1}(y)dy = y f^{-1}(y) + F(f^{-1}(y))+C
\] dove \(f^{-1}\) è la funzione inversa di \(f\).

[apatriarca]

Nessuna idea? Prova a fare un cambio di variabili e poi integrare per parti.

[solaàl]

Beh, so la risposta; l'ho scoperto di recente e mi chiedevo quanto fosse già noto.

[gugo82]

Ad occhio, mi pare imparentata con un'uguaglianza integrale di Young:

$\int_0^a f(x) "d" x + int_(f(0))^(f(a)) f^(-1)(y) "d"y = a*f(a)$

valida per funzioni crescenti... Ma non ho fatto esplicitamente i conti per vedere se torna.

[apatriarca]

Sinceramente non avevo fatto i calcoli ma devo dire che la formula non mi torna. Sia \(y = f(x) = x^3\) e quindi \(x = f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}\) e \(F(x) = x^4/4\). Abbiamo che (ignorando le costanti)
\[ \frac{3\,y\,\sqrt[3]{y}}{4} = \int \sqrt[3]{y}\,dy \neq y\,\sqrt[3]{y} + \frac{\sqrt[3]{y}^4}{4} = \frac{5\,y\,\sqrt[3]{y}}{4} \]
Facendo in effetti i calcoli credo che il segno davanti alla primitiva dovrebbe essere un meno.

[gugo82]

Che è il segno che verrebbe fuori dalla Young...