Prima Specie,Equazioni di Frendholm
Salve,vi sarei grato,se qualcuno mi spiegasse come potrei risolvere la seguente equazione integrale:
$ e^x=int_a^bln(t+x)y(t)dt $
$ e^x=int_a^bln(t+x)y(t)dt $
Risposte
"mklplo":
Salve,vi sarei grato,se qualcuno mi spiegasse come potrei risolvere la seguente equazione integrale:
$ e^x=int_a^bln(t+x)y(t)dt $
Ne abbiamo parlato in questi giorni... Tu cosa hai provato?
Ti ringrazio di aver risposto ,tuttavia quelle equazione che ti ho chiesto erano equazioni di Frendholm di seconda specie,la cui formula generale è questa:
$ y(x)=f(x)+int_a^b K(s,t)y(t)dt $
mentre questa è di prima specie ed ha come formula generale:
$ f(x)=int_a^b K(s,t)y(t)dt $
$ y(x)=f(x)+int_a^b K(s,t)y(t)dt $
mentre questa è di prima specie ed ha come formula generale:
$ f(x)=int_a^b K(s,t)y(t)dt $
Questo lo so, infatti ti ho chiesto cosa tu avessi provato...
Tieni presente che, nel caso di nuclei simmetrici, le equazioni di prima specie si possono risolvere sfruttando alcuni accorgimenti relativi a quelle di seconda. Ad esempio, se sono note autofunzioni ed autovalori del nucleo e se è noto lo sviluppo in serie di autofunzioni del termine noto, la soluzione si sviluppa anch'essa in serie di autofunzioni in maniera semplice. Prova.
Tieni presente che, nel caso di nuclei simmetrici, le equazioni di prima specie si possono risolvere sfruttando alcuni accorgimenti relativi a quelle di seconda. Ad esempio, se sono note autofunzioni ed autovalori del nucleo e se è noto lo sviluppo in serie di autofunzioni del termine noto, la soluzione si sviluppa anch'essa in serie di autofunzioni in maniera semplice. Prova.
Grazie,potresti se non ti reca disturbo farmi un esempio su un'equazione piu semplice,poiché non ho molta dimestichezza con queste cose?
Vado a braccio, perchè queste cose le ho viste tanto tempo fa.
In generale, se ricordo bene, quando un operatore di Fredholm ha nucleo $K(x,t)$ simmetrico (i.e., tale che $K(x,t)=K(t,x)$) in $L^2$ allora esso ha una successione di autovalori reali $\lambda_n$ (che tende a zero) cui sono associate delle autofunzioni (reali) $(\phi_n)$ costituenti un sistema ortonormale completo in $L^2$.
Ora, se $f\in L^2$ si scrive come $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n\ \phi_n(x)$, allora detta $y(x)=\sum_{n=1}^\infty y_n\ \phi_n(x)$ l'espansione in serie di Fourier della probabile soluzione $y$, deve risultare:
\[
\int K(x,t)\ \sum_{n=1}^\infty y_n\ \phi_n(t)\ \text{d} t = \sum_{n=1}^\infty f_n\ \phi_n(x)\; ,
\]
da cui:
\[
\sum_{n=1}^\infty y_n\ \lambda_n\ \phi_n(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n\ \phi_n(x)\qquad \Rightarrow \qquad \forall n \in \NN,\ y_n = \frac{f_n}{\lambda_n}\; ;
\]
da ciò segue che se conosci gli autovalori e le autofunzioni dell'operatore e se risulta convergente la serie numerica:
\[
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{f_n}{\lambda_n}\right)^2\; ,
\]
allora la serie di Fourier $\sum \frac{f_n}{\lambda_n}\ \phi_n(x)$ ti individua la soluzione del problema.
In generale, se ricordo bene, quando un operatore di Fredholm ha nucleo $K(x,t)$ simmetrico (i.e., tale che $K(x,t)=K(t,x)$) in $L^2$ allora esso ha una successione di autovalori reali $\lambda_n$ (che tende a zero) cui sono associate delle autofunzioni (reali) $(\phi_n)$ costituenti un sistema ortonormale completo in $L^2$.
Ora, se $f\in L^2$ si scrive come $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n\ \phi_n(x)$, allora detta $y(x)=\sum_{n=1}^\infty y_n\ \phi_n(x)$ l'espansione in serie di Fourier della probabile soluzione $y$, deve risultare:
\[
\int K(x,t)\ \sum_{n=1}^\infty y_n\ \phi_n(t)\ \text{d} t = \sum_{n=1}^\infty f_n\ \phi_n(x)\; ,
\]
da cui:
\[
\sum_{n=1}^\infty y_n\ \lambda_n\ \phi_n(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n\ \phi_n(x)\qquad \Rightarrow \qquad \forall n \in \NN,\ y_n = \frac{f_n}{\lambda_n}\; ;
\]
da ciò segue che se conosci gli autovalori e le autofunzioni dell'operatore e se risulta convergente la serie numerica:
\[
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{f_n}{\lambda_n}\right)^2\; ,
\]
allora la serie di Fourier $\sum \frac{f_n}{\lambda_n}\ \phi_n(x)$ ti individua la soluzione del problema.
Grazie
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