Pezzo di dimostrazione che mi manca di capire??????
f∈ L↑ p⇒ ∀ε>0 ∃ g:
|f-g |p < ε con il supporto di g appartenente a (-A,A).
|f-g |p < ε con il supporto di g appartenente a (-A,A).
Risposte
Sei pregato di formulare una domanda in un linguaggio comprensibile. 
Ciao Gino1000,
Benvenuto sul forum!
Non vedo alcun "pezzo di dimostrazione", ma semplicemente un'affermazione che provo a riscrivere in un linguaggio più comprensibile:
$f \in L^p \implies \forall \epsilon > 0 \quad \EE g : ||f - g ||_p < \epsilon $ con il supporto di $g$ appartenente a $(-A, A)$
Chi è $A$? Potresti fornire un po' più di contesto, magari scrivendo il teorema per intero con la sua dimostrazione ed evidenziando la parte di dimostrazione che non ti è chiara? Cosa stai studiando?
Benvenuto sul forum!
Non vedo alcun "pezzo di dimostrazione", ma semplicemente un'affermazione che provo a riscrivere in un linguaggio più comprensibile:
$f \in L^p \implies \forall \epsilon > 0 \quad \EE g : ||f - g ||_p < \epsilon $ con il supporto di $g$ appartenente a $(-A, A)$
Chi è $A$? Potresti fornire un po' più di contesto, magari scrivendo il teorema per intero con la sua dimostrazione ed evidenziando la parte di dimostrazione che non ti è chiara? Cosa stai studiando?
$ Teorema 5. Per ogni funzione $f$ su $\RR $ e ogni $y \in \RR $, sia $f_y $ la traslata di $f$ definita dalla
\begin{equation*}
f_y(x) = f(x - y) \qquad (x \in \mathbb{R})
\end{equation*}
Se $1 \le p < +\infty $ e se $f \in L^p $, l'applicazione
\begin{equation*}
y \rightarrow f_y
\end{equation*}
è un'applicazione uniformemente continua di $\RR $ su $L^p(\RR) $.
Dimostrazione. Fissiamo un $\epsilon > 0 $. Poiché $f \in L^p $, esiste una funzione continua $g$ il cui supporto appartiene all'intervallo limitato $[- A, A] $ tale che:
\begin{equation*}
||f - g||_p < \epsilon
\end{equation*}
La continuità uniforme di $g$ mostra che esiste un $\delta \in (0, A) $ tale che $|s - t| < \delta $ implica
\begin{equation*}
|g(s) - g(t)| < (3A)^{- \frac{1}{p}} \epsilon
\end{equation*}
Se $|s - t| < \delta $, ne segue che
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x - s) - g(x - t)|^p \text{d}x < (3A)^{-1} \epsilon^p (2A + \delta) < \epsilon^p ,
\end{equation*}
cosicché $ ||g_s - g_t || < \epsilon $. Dall'invarianza per traslazione delle norme $L^p$ (relative alla misura di Lebesgue): [tex]||f||_p = ||f_s||_p[/tex], segue che:
[tex]||f_s - f_t||_p \le ||f_s - g_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||g_t - f_t||_p = ||(f - g)_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||(g - f)_t||_p < 3 \epsilon[/tex]
per ogni $|s - t| < \delta $. Da cui segue la tesi. [tex]\boxtimes[/tex] $
Quindi vi allego la dimostrazione completa come immagine. Ho anche evidenziato la parte che proprio non capisco. Forse ho puntato troppo in alto ed un ingegnere non ha le basi per accedere a tale conoscenza, Ma prima di arredermi voglio fare un tentativo.
\begin{equation*}
f_y(x) = f(x - y) \qquad (x \in \mathbb{R})
\end{equation*}
Se $1 \le p < +\infty $ e se $f \in L^p $, l'applicazione
\begin{equation*}
y \rightarrow f_y
\end{equation*}
è un'applicazione uniformemente continua di $\RR $ su $L^p(\RR) $.
Dimostrazione. Fissiamo un $\epsilon > 0 $. Poiché $f \in L^p $, esiste una funzione continua $g$ il cui supporto appartiene all'intervallo limitato $[- A, A] $ tale che:
\begin{equation*}
||f - g||_p < \epsilon
\end{equation*}
La continuità uniforme di $g$ mostra che esiste un $\delta \in (0, A) $ tale che $|s - t| < \delta $ implica
\begin{equation*}
|g(s) - g(t)| < (3A)^{- \frac{1}{p}} \epsilon
\end{equation*}
Se $|s - t| < \delta $, ne segue che
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x - s) - g(x - t)|^p \text{d}x < (3A)^{-1} \epsilon^p (2A + \delta) < \epsilon^p ,
\end{equation*}
cosicché $ ||g_s - g_t || < \epsilon $. Dall'invarianza per traslazione delle norme $L^p$ (relative alla misura di Lebesgue): [tex]||f||_p = ||f_s||_p[/tex], segue che:
[tex]||f_s - f_t||_p \le ||f_s - g_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||g_t - f_t||_p = ||(f - g)_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||(g - f)_t||_p < 3 \epsilon[/tex]
per ogni $|s - t| < \delta $. Da cui segue la tesi. [tex]\boxtimes[/tex] $
[code][code][code][/code][/code][/code]Scusatemi ma sono sempre Gino1000, ma sono stato costretto a cambiare account perché Gino1000 non funziona più. Colgo l'occasione per presentarmi. Sono un vecchio ingegnere che si diletta di matematica.
Quindi vi allego la dimostrazione completa come immagine. Ho anche evidenziato la parte che proprio non capisco. Forse ho puntato troppo in alto ed un ingegnere non ha le basi per accedere a tale conoscenza, Ma prima di arredermi voglio fare un tentativo.
L'esistenza di \(g\) con quelle proprietà dovrebbe seguire dal fatto che lo spazio \(\mathcal{C}_c\) è denso in \(L^p\); ma aspetta pareri più esperti del mio su questo.
La continuità uniforme di \(g\) segue dal teorema di Heine-Cantor: una funzione continua su un compatto è uniformemente continua. Il resto è proprio la definizione di uniforme continuità.
[xdom="Mephlip"]Benvenuto sul forum, Gino. Per cortesia, d'ora in avanti non postare foto: esse col tempo vengono rimosse dai siti su cui sono state caricate, rendendo il post illeggibile e chi passerà di qui in futuro. Puoi trovare qui un tutorial per scrivere con le formule del forum e qui il regolamento del forum. Quando avrai imparato a scrivere con le formule, cortesemente modifica il tuo messaggio con l'apposito pulsante "Modifica" che compare in alto a destra su di esso, sostituendo la foto con il testo della dimostrazione e le formule. Inoltre, hai postato più volte lo stesso messaggio; cancella gli altri, per favore (se non ci riesci, scrivilo qui e li cancello io). Grazie e buona permanenza![/xdom]
La continuità uniforme di \(g\) segue dal teorema di Heine-Cantor: una funzione continua su un compatto è uniformemente continua. Il resto è proprio la definizione di uniforme continuità.
[xdom="Mephlip"]Benvenuto sul forum, Gino. Per cortesia, d'ora in avanti non postare foto: esse col tempo vengono rimosse dai siti su cui sono state caricate, rendendo il post illeggibile e chi passerà di qui in futuro. Puoi trovare qui un tutorial per scrivere con le formule del forum e qui il regolamento del forum. Quando avrai imparato a scrivere con le formule, cortesemente modifica il tuo messaggio con l'apposito pulsante "Modifica" che compare in alto a destra su di esso, sostituendo la foto con il testo della dimostrazione e le formule. Inoltre, hai postato più volte lo stesso messaggio; cancella gli altri, per favore (se non ci riesci, scrivilo qui e li cancello io). Grazie e buona permanenza![/xdom]
"Superbgino":
Scusatemi ma sono sempre Gino1000, ma sono stato costretto a cambiare account perché Gino1000 non funziona più.
Ciao Superbgino alias Gino1000, per la cancellazione di tutti gli altri messaggi che hai scritto in Analisi matematica di base e in Analisi superiore non posso aiutarti, ma per cancellare l'immagine che hai postato in questo thread e sostituirla con quanto sto per scriverti invece posso aiutarti...
Teorema 5. Per ogni funzione $f$ su $\RR $ e ogni $y \in \RR $, sia $f_y $ la traslata di $f$ definita dalla
\begin{equation*}
f_y(x) = f(x - y) \qquad (x \in \mathbb{R})
\end{equation*}
Se $1 \le p < +\infty $ e se $f \in L^p $, l'applicazione
\begin{equation*}
y \rightarrow f_y
\end{equation*}
è un'applicazione uniformemente continua di $\RR $ su $L^p(\RR) $.
Dimostrazione. Fissiamo un $\epsilon > 0 $. Poiché $f \in L^p $, esiste una funzione continua $g$ il cui supporto appartiene all'intervallo limitato $[- A, A] $ tale che:
\begin{equation*}
||f - g||_p < \epsilon
\end{equation*}
La continuità uniforme di $g$ mostra che esiste un $\delta \in (0, A) $ tale che $|s - t| < \delta $ implica
\begin{equation*}
|g(s) - g(t)| < (3A)^{- \frac{1}{p}} \epsilon
\end{equation*}
Se $|s - t| < \delta $, ne segue che
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x - s) - g(x - t)|^p \text{d}x < (3A)^{-1} \epsilon^p (2A + \delta) < \epsilon^p ,
\end{equation*}
cosicché $ ||g_s - g_t || < \epsilon $. Dall'invarianza per traslazione delle norme $L^p$ (relative alla misura di Lebesgue): [tex]||f||_p = ||f_s||_p[/tex], segue che:
[tex]||f_s - f_t||_p \le ||f_s - g_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||g_t - f_t||_p = ||(f - g)_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||(g - f)_t||_p < 3 \epsilon[/tex]
per ogni $|s - t| < \delta $. Da cui segue la tesi. [tex]\boxtimes[/tex]
[b]Teorema 5. [/b] Per ogni funzione $f$ su $\RR $ e ogni $y \in \RR $, sia $f_y $ la traslata di $f$ definita dalla
\begin{equation*}
f_y(x) = f(x - y) \qquad (x \in \mathbb{R})
\end{equation*}
Se $1 \le p < +\infty $ e se $f \in L^p $, l'applicazione
\begin{equation*}
y \rightarrow f_y
\end{equation*}
è un'applicazione uniformemente continua di $\RR $ su $L^p(\RR) $.
[b]Dimostrazione.[/b] Fissiamo un $\epsilon > 0 $. Poiché $f \in L^p $, esiste una funzione continua $g$ il cui supporto appartiene all'intervallo limitato $[- A, A] $ tale che:
\begin{equation*}
||f - g||_p < \epsilon
\end{equation*}
La continuità uniforme di $g$ mostra che esiste un $\delta \in (0, A) $ tale che $|s - t| < \delta $ implica
\begin{equation*}
|g(s) - g(t)| < (3A)^{- \frac{1}{p}} \epsilon
\end{equation*}
Se $|s - t| < \delta $, ne segue che
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x - s) - g(x - t)|^p \text{d}x < (3A)^{-1} \epsilon^p (2A + \delta) < \epsilon^p ,
\end{equation*}
cosicché $ ||g_s - g_t || < \epsilon $. Dall'invarianza per traslazione delle norme $L^p$ (relative alla misura di Lebesgue): [tex]||f||_p = ||f_s||_p [/tex], segue che:
[tex]||f_s - f_t||_p \le ||f_s - g_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||g_t - f_t||_p = ||(f - g)_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||(g - f)_t||_p < 3 \epsilon[/tex]
per ogni $|s - t| < \delta $. Da cui segue la tesi. [tex]\boxtimes[/tex]
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