Perchè avviene questo per l'integrale nel campo complesso?

[Omi1]

Salve a tutti ho il seguente integrale:
$ int_(0)^(pi) sin t*e^(-jt) dt $

Mi accorgo che risolvendolo per parti non viene un numero finito, ma se scompongo attraverso Eulero :
$ int_(0)^(pi) sin t*(cos t-j sin t) dt $
L'integrale viene finito. Come mai avviene questa cosa? Grazie a tutti in anticipo.

[gugo82]

E come fa a non venirti finito?

[Omi1]

Svolgendo per parti:
$ f=sent $ ; $ df/dt=cost $ ; $ dg/dt=e^(-jt) $; $ g=j*e^(-jt) $

$ -jint_(0)^(pi) coste^(-jt) dt $

$ f=cost $ ; $ df/dt=-sent $ ; $ dg/dt=e^(-jt) $; $ g=j*e^(-jt) $

$ -j[-je^(-jpi)-j+j int_(0)^(pi) sente^(-jt) dt]=-e^(-jpi)-1+int_(0)^(pi) sente^(-jt) dt=int_(0)^(pi) sente^(-jt) dt $

E portato a sinistra mi viene :

$ -e^(-jpi)-1=0 $

Sperando di non aver sbagliato i calcoli...

[pilloeffe]

Ciao Omi,

"Omi":Sperando di non aver sbagliato i calcoli...

Mi sa di sì... E non c'è neanche bisogno di ricorrere all'integrazione per parti:

$ \int_0^{\pi} e^(-jt) sin t \text{d}t = \int_0^{\pi} (cos t - j sint) sin t \text{d}t = \int_0^{\pi} cos t sin t \text{d}t - j \int_0^{\pi} sin^2 t \text{d}t = 0 - j \pi/2 = - (j\pi)/2 $

D'altronde si otteneva un integrale anche più semplice facendo il contrario, cioè ricordando che $sin t = (e^{jt} - e^{- jt})/(2j) $:

$\int e^(-jt) sin t \text{d}t = \int e^(-jt) (e^{jt} - e^{- jt})/(2j) \text{d}t = \int (1 - e^{- 2jt})/(2j) \text{d}t = t/(2j) - 1/4 e^{- 2jt} + c = - (j t)/2 - 1/4 e^{- 2jt} + c $

Quindi si ha:

$\int_0^{\pi} e^(-jt) sin t \text{d}t = [- (j t)/2 - 1/4 e^{- 2jt}]_0^{\pi} = - (j \pi)/2 - 1/4 e^{- 2\pi j} + 0 + 1/4 = - (j \pi)/2 - 1/4 + 1/4 = - (j \pi)/2 $

[gugo82]

Non hai sbagliato i calcoli, anche se avresti potuto scriverli meglio.

Per spiegare perché, quando integri brutalmente per parti, i calcoli non vengono, considera l'integrale che ottieni dal tuo rimpiazzando l'unità immaginaria $j$ con un parametro $a$, cioè $I(a) := int_0^pi sin t * e^(-a t) "d" t$.
Integrando per parti due volte, ma con fattori differenziali $sin t$ (prima volta) e $cos t$ (seconda volta), ottieni:

$I(a) = e^(- pi a) + 1 - a^2 I(alpha) <=> (a^2 + 1) I(a) = e^(-pi a) + 1$

e da ciò segue immediatamente che per è impossibile ricavare $I(j)$, poiché per $a=j$ la quantità $a^2 + 1$ è uguale a $0$.

Tuttavia, si può ovviare con un trucco...

Invero, dalla precedente possiamo ricavare:

$I(a) = (e^(-pi a) + 1)/(a^2 + 1)$

e passare al limite per $a -> j$, ottenendo (usando limiti notevoli, ma se vuoi puoi usare il teorema di de l'Hopital):

$I(j) = lim_(a -> j) I(a) = lim_(a -> j) (e^(-pi a) + 1)/(a^2 + 1) = lim_(a -> j) (e^(-pi a) - e^(-pi j))/((a + j)(a - j)) = lim_(a -> j) e^(-pi j) * (e^(-pi (a-j)) - 1)/((a + j)(a - j)) \stackrel{k=a - j}{=} lim_(k -> 0) - (e^(-pi k) - 1)/(k (k+2j)) = pi/(2j) = -pi/2 j$

Il passaggio al limite è giustificabile in tanti modi: ad esempio, perché la famiglia di funzioni $f_a(t) := sin t * e^(-at)$ converge uniformemente a $sin t * e^(-jt)$ in $[0,pi]$ quando $a -> j$ (oppure sfruttando il teorema di convergenza dominata).

[Omi1]

Gugo ti ringrazio per la risposta e si hai ragione, potevo scrivere meglio, ma da cell è tutto più meccanico e questo, innesca la pigrizia che è in me xD
Comunque è la prima volta che mi capita un integrale del genere, pensavo che l'integrazione per parti potesse risolvere qualsiasi integrale, ma mi sbagliavo. Questo che mi hai appena spiegato però può succedere solo nel campo complesso o succede anche nel reale?

[gugo82]

Per integrali del tipo $I(omega,p) := int sin(omega t) * e^(p t) "d"t$ oppure $I(omega, p) := int cos(omega t) * e^(p t) "d"t$ (con $omega, p in RR$ non entrambi nulli) non capita in campo reale: infatti, integrando per parti, ottieni un'integrale ciclico del tipo $(p^2 + omega^2) * I(omega, p) = "qualcosa"$ e, dato che $p^2 + omega^2 > 0$ in campo reale, puoi sempre ricavare $I(omega, p)$.
La cosa cambia non appena i due parametri $omega$ e $p$ cominciano a poter prendere valori in campo complesso, perché il polinomio $p^2 + omega^2$ ha degli zeri non banali.

In generale, non ho mai pensato a creare esempi di integrali ciclici non calcolabili in campo reale... Ti farò sapere.

[Omi1]

Grazie per la bellissima lezione gugo.