Parte immaginaria di una funzione

[tgrammer]

dati $ alpha,A $ due parametri reali, si consideri la funzione reale di due variabili reali x,y
$ u(x,y)=1+x^α-Axy^2 $ .

ho già mostrato che deve essere $ α=A=3 $ affinchè $ u(x,y) $ sia la parte reale di una funzione olomorfa $ f(z) $ .

ora l'esercizio mi chiede però di determinare anche la funzione $ v(x,y) $ e dunque $ f(z) $ assumendo che $ f(0)=1 $

come si deve procedere?

[solaàl]

Risolvendo le equazioni di Cauchy-Riemann.

[tgrammer]

dunque, dalla condizione $ f(0)=1 $ mi sembra di capire che allora la parte immaginaria è nulla e che quindi $ u(x,y)=1 $ ossia $ 1+x^3-3xy^2=1 $ .
dalle equazioni di Cauchy-Riemann sappiamo che $ (∂u)/(∂x)=(∂v)/(∂y) $
pertanto $ (∂u)/(∂x)=3x^2-6xy=(∂v)/(∂y) $

è giusto fino a qui? ma come sfrutto queste informazioni per ricavare $ v(x,y) $ ?

[solaàl]

C'è un sistema di due equazioni alle derivate parziali che devi risolvere; è semplice, ed ha un'unica soluzione data la condizione iniziale.

[tgrammer]

il sistema è formato alle equazioni $ (∂u)/(∂x )=(∂v)/(∂y) $ e $ (∂v)/(∂x )=-(∂u)/(∂y) $
quindi da
$ alpha x^{alpha -1)-Ay^2=(∂v)/(∂y) $ e $ (∂v)/(∂x)=2Axy $

ma come è possibile risolvere questo sistema?

[solaàl]

Se \[
\begin{cases}
\partial_yv= 3x^2-3y^2 \\
\partial_xv = 6xy
\end{cases}
\]
Questo significa che \(v(x,y)=x^3-3xy^2+C\). La costante la trovi con la condizione iniziale.