Parametrizzazione curva complessa
Salve ragazzi, devo risolvere i seguenti integrali:
$ \int_y(e^z-e^-z)/z^4dz $ dove y è $ |z| = 1 $.
$ \int_y(z^2+1)/(z*(z-8))dz $ dove y è $ |z-3| = 4 $
Avevo pensato di applicare la formula di Cauchy:
$ f^{(n)}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\ d\zeta $
Il mio problema è che non riesco ad identificare la curva y, di conseguenza non capisco se le singolarità sono contenute o meno all'interno della curva...
Ringrazio in anticipo eventuali risposte.
$ \int_y(e^z-e^-z)/z^4dz $ dove y è $ |z| = 1 $.
$ \int_y(z^2+1)/(z*(z-8))dz $ dove y è $ |z-3| = 4 $
Avevo pensato di applicare la formula di Cauchy:
$ f^{(n)}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\ d\zeta $
Il mio problema è che non riesco ad identificare la curva y, di conseguenza non capisco se le singolarità sono contenute o meno all'interno della curva...
Ringrazio in anticipo eventuali risposte.
Risposte
Ciao Jon284,
Benvenuto sul forum!
Beh, basta esplicitare $|z| = 1$ con $z = x + iy$:
$|z| = 1 \implies \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \implies x^2 + y^2 = 1$
che è l'equazione di una circonferenza di centro l'origine $O$ e raggio $1$, quindi chiaramente $z = 0 $ è dentro...
Prova a fare un ragionamento analogo per l'altra curva, $|z - 3| = 4 $
Benvenuto sul forum!
"Jon284":
Il mio problema è che non riesco ad identificare la curva $\gamma $
Beh, basta esplicitare $|z| = 1$ con $z = x + iy$:
$|z| = 1 \implies \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \implies x^2 + y^2 = 1$
che è l'equazione di una circonferenza di centro l'origine $O$ e raggio $1$, quindi chiaramente $z = 0 $ è dentro...
Prova a fare un ragionamento analogo per l'altra curva, $|z - 3| = 4 $
Quali sono i punti del piano che hanno distanza $=1$ dall'origine $z_0=0$?
E quali sono i punti che hanno distanza $=4$ dal punto $z_1=3$?
Riconosci che in entrambi i casi si tratta di due curve note? Quali?
Come si parametrizzano nei reali?
E nei complessi?
E quali sono i punti che hanno distanza $=4$ dal punto $z_1=3$?
Riconosci che in entrambi i casi si tratta di due curve note? Quali?
Come si parametrizzano nei reali?
E nei complessi?
Seguendo lo stesso ragionamento, l'altra curva è proprio una circonferenza di centro 3 e raggio 4, infatti svolgendo i calcoli ho trovato l'equazione:
$ x^2+y^2-6x+7=0 $
Alla fine basta notare che sono equazioni nella forma:
$ |z-z_0| = r $
con $ z_0 $ centro della circonferenza e r raggio.
Quindi per il secondo integrale prendo in considerazione la singolarità $ z_0=0 $ in quanto 8 è un punto che si trova all'esterno della curva.
Grazie mille per la mano ragazzi!
$ x^2+y^2-6x+7=0 $
Alla fine basta notare che sono equazioni nella forma:
$ |z-z_0| = r $
con $ z_0 $ centro della circonferenza e r raggio.
Quindi per il secondo integrale prendo in considerazione la singolarità $ z_0=0 $ in quanto 8 è un punto che si trova all'esterno della curva.
Grazie mille per la mano ragazzi!
"Jon284":
l'altra curva è proprio una circonferenza di centro 3 e raggio 4
Di centro $C(3, 0)$ e raggio $4$
"Jon284":
Quindi per il secondo integrale prendo in considerazione la singolarità $z_0=0$ in quanto 8 è un punto che si trova all'esterno della curva.
Per il secondo integrale procederei preventivamente con la scomposizione seguente:
$\int_{\gamma}(z^2+1)/(z \cdot (z-8))\text{d}z = \int_{\gamma}(z^2+1)/(8 \cdot (z-8))\text{d}z - \int_{\gamma}(z^2+1)/(8z)\text{d}z = 1/8 \int_{\gamma}(z^2+1)/(z-8)\text{d}z - 1/8\int_{\gamma}(z^2+1)/(z)\text{d}z $
Più comoda se vuoi applicare la formula di Cauchy che hai citato.
"Jon284":
Grazie mille per la mano ragazzi!
Prego!
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