Ordine di un polo
ho trovato che i poli di $ f(z)=1/(sin(1/z)-1 $ sono $ z_k=1/(pi/2+2kpi $ con $ k∈ZZ $ .
ma come posso dimostrare però che si tratta di poli di ordine 2 e non 1? ci ho provato ma temo che i calcoli tendono a complicarsi troppo
ma come posso dimostrare però che si tratta di poli di ordine 2 e non 1? ci ho provato ma temo che i calcoli tendono a complicarsi troppo
Risposte
Qui trovi un esercizio simile.
Puoi prendere spunto da questo:
https://math.stackexchange.com/a/1645556/563160
Puoi prendere spunto da questo:
https://math.stackexchange.com/a/1645556/563160
Ciao itisscience,
La cosa più semplice mi pare che sia dimostrare che se $z_k = 1/(pi/2+2k\pi) $ è un polo di ordine $2$ per $f(z) $, allora $z_k $ deve essere uno zero di ordine $2$ per $g(z) = sin(1/z) - 1 $, cioè $g(z) $ deve ammettere uno sviluppo in serie del tipo $\sum_{n = 0}^{+\infty} g^{(n)}(z_k)/(n!) (z - z_k)^n $ avente i primi due termini nulli. Infatti si ha:
$g(z) = sin(1/z) - 1 \implies g(z_k) = g^{(0)}(z_k) = 0 $
$g'(z) = - 1/z^2 \cdot cos(1/z) \implies g'(z_k) = g^{(1)}(z_k) = 0 $
$ g''(z) = (2z cos(1/z) - sin(1/z))/z^4 \implies g''(z_k) = g^{(2)}(z_k) = (0 - sin(1/z_k))/(z_k^4) \ne 0 $
La cosa più semplice mi pare che sia dimostrare che se $z_k = 1/(pi/2+2k\pi) $ è un polo di ordine $2$ per $f(z) $, allora $z_k $ deve essere uno zero di ordine $2$ per $g(z) = sin(1/z) - 1 $, cioè $g(z) $ deve ammettere uno sviluppo in serie del tipo $\sum_{n = 0}^{+\infty} g^{(n)}(z_k)/(n!) (z - z_k)^n $ avente i primi due termini nulli. Infatti si ha:
$g(z) = sin(1/z) - 1 \implies g(z_k) = g^{(0)}(z_k) = 0 $
$g'(z) = - 1/z^2 \cdot cos(1/z) \implies g'(z_k) = g^{(1)}(z_k) = 0 $
$ g''(z) = (2z cos(1/z) - sin(1/z))/z^4 \implies g''(z_k) = g^{(2)}(z_k) = (0 - sin(1/z_k))/(z_k^4) \ne 0 $
grazie!!
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