Operatori di proiezione autoaggiunti

[anto_zoolander]

Ciao!

ho un dilemma sulla correttezza di quanto scritto sotto.
Sotto spoiler riporto perché ho pensato a 'sta cosa.

stavo studiando le proprietà del valore atteso condizionato e mi ha incuriosito una certa conclusione: Considerati \( \mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \) e \( \mathcal{G} \) una sotto sigma algebra di \( \mathcal{F} \) possiamo definire due quantità

\( *: \mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \times \mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \rightarrow \mathbb{R} \) definita come \( x*y = \mathbb{E}[xy] \)

\( P: \mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \rightarrow \mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{G},\mathbb{P}) \) definita come \( Px = \mathbb{E}[x|\mathcal{G}] \)

sono rispettivamente un prodotto interno ed un operatore autoaggiunto(risp. \( * \))
da questo conclude che \( \Vert x-\mathbb{E}[x|\mathcal{G}] \Vert = \min_{y \in \mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) } \Vert x - y \Vert \)

Onestamente a primo acchito non l'ho capita 'sta cosa. Penso che discenda dal seguente fatto(che ho ipotizzato) più generale...

dato \( (X,*) \) spazio pre-Hilbertiano e $YleqX$, se esiste un operatore \( P : X \rightarrow X \) di proiezione( \(\mathrm{ P^2=P } \) )che sia autoaggiunto risp \( * \) e per cui \( \mathrm{ImP=Y} \), allora esiste \( \mathrm{ \min_{y \in Y} }\Vert x-y \Vert \)

Io penso che sia vero e che la completezza non sia necessaria, infatti:

1. \( \mathrm{ (x-Px)*Px = (P(x-Px))*x=(Px-P^2x)*x=(Px-Px)*x=0 } \)

2. \( \mathrm{ y \in Y \Rightarrow y = Pz, z \in X \Rightarrow (x-Px)*y = (x-Px)*Pz = .... = 0 } \)

quindi banalmente si ottiene che \( \mathrm{ \Vert x-y \Vert \geq \Vert x-Px \Vert }  \) comunque preso \( \mathrm{ y \in Y} \)

nel caso particolare di sopra si applica considerando che \( \mathrm{P} \) ristretto a \( \mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \) è l'identità per una proprietà di \( \mathbb{E} [x| \mathcal{G} ]  \)

è corretto?

[dissonance]

Quello che hai scritto è vero, ed è la parte banale del teorema dei proiettori negli spazi di Hilbert. La parte non banale afferma che ogni sottospazio chiuso ammette un proiettore; è lì che si usa la completezza.

Si tratta sostanzialmente del converso di quello che hai scritto; se un sottospazio è chiuso in uno spazio di Hilbert allora si riesce a risolvere il problema di minimizzazione che hai citato, usando l'identità del parallelogramma e la completezza. La soluzione di quel problema è il proiettore ortogonale.

[anto_zoolander]

Si questo teorema l'ho a mente, uno dei miei teoremi preferiti però ho ritenuto che fosse come sparare ad una mosca con un bazooka di fatto per l'esercizio sotto spoiler non serve usare la completezza