Operatori compatti se il rango è di dimensione finita.
Siano degli spazi vettoriali normati \( X,Y\) e sia \( T \in \mathcal{L}(X,Y)\), dove \( \mathcal{L}(X,Y)\) denota lo spazio degli operatori lineari limitati. Dimostra che se \( \dim_{\mathbb{F}} R(T) < \infty \) allora \(T \) è compatto.
Dove \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} \).
Non sono sicurissimo di come ho proceduto. Va bene secondo voi?
Ponendo \(n:= \dim_{\mathbb{F}} R(T) \) abbiamo che \( R(T) \cong \mathbb{F}^n\), sia dunque \( \{e_1, \ldots, e_n\} \) una base di \( R(T)\), allora inoltre ponendo \( \begin{Vmatrix} (a_1,\ldots,a_n) \end{Vmatrix}_{\mathbb{F}^n} := \begin{Vmatrix} a_1 e_1 + \ldots + a_n e_n \end{Vmatrix}_Y \) possiamo usare il fatto che \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{\mathbb{F}^n} \) è equivalente a \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{2} \), dove quest'ultima è la norma standard.
Allora siccome in \( ( \mathbb{F}^n, \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_2) \) abbiamo che data una successione limitata \( \{ \alpha_k\}_k := \{ ( a_{1,k}, \ldots, a_{n,k}) \}_{k \geq 1 } \) in \( ( \mathbb{F}^n, \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_2) \) abbiamo che esiste una sottosuccessione
\( \{ \alpha_{k_j}\}_j := \{ ( a_{1,k_j}, \ldots, a_{n,k_j}) \}_{j \geq 1 } \) convergente verso un certo \( \alpha \).
Pertanto sia \( \{ x_k \} \) una successione in \(X\) limitata, abbiamo che \( \{ T x_k \} \) è una successione limitata in \( R(T) \subseteq Y \) poiché \(T\) è un operatore limitato, infatti abbiamo per ogni \( x_k \)
\[ \begin{Vmatrix} T x_k \end{Vmatrix}_{Y} \leq \begin{Vmatrix} T \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} x_k \end{Vmatrix}_X \]
Inoltre sia \( T x_k = \sum_{i=1}^{n} a_{i,k}e_i \) allora segue che
\[ \begin{Vmatrix} T x_k \end{Vmatrix}_{Y} = \begin{Vmatrix} (a_{1,k} ,\ldots, a_{n,k}) \end{Vmatrix}_{\mathbb{F}^n} \leq C \begin{Vmatrix} (a_{1,k} ,\ldots, a_{n,k}) \end{Vmatrix}_{2} \]
dove l'ultima disuguaglianza segue dalla equivalenza delle due norme.
Estraiamo dunque una sotto-successione \( \{ (a_{1,k_j} ,\ldots, a_{n,k_j}) \}_j \to (a_1,\ldots,a_n) \) allora abbiamo che esiste una sotto-successione \( \{ Tx_{k_j} \}_j \) convergente in \(R(T) \) verso un certo \( Tx = \sum_{i=1}^{n} a_i e_i \) , infatti per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( N > 0 \) tale che per ogni \(k_j \geq J \) risulta che \( \begin{Vmatrix} (a_{1,k_j} ,\ldots, a_{n,k_j}) - (a_{1} ,\ldots, a_{n}) \end{Vmatrix}_{2} < \epsilon/C \) pertanto
\[ \begin{Vmatrix} T x_{k_j} - T x \end{Vmatrix}_{Y} = \begin{Vmatrix} (a_{1,k_j} ,\ldots, a_{n,k_j}) - (a_{1} ,\ldots, a_{n})\end{Vmatrix}_{\mathbb{F}^n} \leq C \begin{Vmatrix} (a_{1,k_j} ,\ldots, a_{n,k_j}) - (a_{1} ,\ldots, a_{n}) \end{Vmatrix}_{2} < \epsilon \]
oppure sarebbe meglio scrivere \( y \) al posto di \( Tx \) per scrivere il limite di \( Tx_{k_j} \) ?
A priori il limite potrebbe uscire da \(R(T) \) credo, però mi pare che siccome \( \dim_{\mathbb{F}} R(T) \) allora \(R(T) \) è inoltre chiuso, e dunque necessariamente il limite deve trovarsi al suo interno, visto come sottoinsieme di \(Y\) rispetto alla topologia indotta da \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{Y} \).
Dove \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} \).
Non sono sicurissimo di come ho proceduto. Va bene secondo voi?
Ponendo \(n:= \dim_{\mathbb{F}} R(T) \) abbiamo che \( R(T) \cong \mathbb{F}^n\), sia dunque \( \{e_1, \ldots, e_n\} \) una base di \( R(T)\), allora inoltre ponendo \( \begin{Vmatrix} (a_1,\ldots,a_n) \end{Vmatrix}_{\mathbb{F}^n} := \begin{Vmatrix} a_1 e_1 + \ldots + a_n e_n \end{Vmatrix}_Y \) possiamo usare il fatto che \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{\mathbb{F}^n} \) è equivalente a \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{2} \), dove quest'ultima è la norma standard.
Allora siccome in \( ( \mathbb{F}^n, \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_2) \) abbiamo che data una successione limitata \( \{ \alpha_k\}_k := \{ ( a_{1,k}, \ldots, a_{n,k}) \}_{k \geq 1 } \) in \( ( \mathbb{F}^n, \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_2) \) abbiamo che esiste una sottosuccessione
\( \{ \alpha_{k_j}\}_j := \{ ( a_{1,k_j}, \ldots, a_{n,k_j}) \}_{j \geq 1 } \) convergente verso un certo \( \alpha \).
Pertanto sia \( \{ x_k \} \) una successione in \(X\) limitata, abbiamo che \( \{ T x_k \} \) è una successione limitata in \( R(T) \subseteq Y \) poiché \(T\) è un operatore limitato, infatti abbiamo per ogni \( x_k \)
\[ \begin{Vmatrix} T x_k \end{Vmatrix}_{Y} \leq \begin{Vmatrix} T \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} x_k \end{Vmatrix}_X \]
Inoltre sia \( T x_k = \sum_{i=1}^{n} a_{i,k}e_i \) allora segue che
\[ \begin{Vmatrix} T x_k \end{Vmatrix}_{Y} = \begin{Vmatrix} (a_{1,k} ,\ldots, a_{n,k}) \end{Vmatrix}_{\mathbb{F}^n} \leq C \begin{Vmatrix} (a_{1,k} ,\ldots, a_{n,k}) \end{Vmatrix}_{2} \]
dove l'ultima disuguaglianza segue dalla equivalenza delle due norme.
Estraiamo dunque una sotto-successione \( \{ (a_{1,k_j} ,\ldots, a_{n,k_j}) \}_j \to (a_1,\ldots,a_n) \) allora abbiamo che esiste una sotto-successione \( \{ Tx_{k_j} \}_j \) convergente in \(R(T) \) verso un certo \( Tx = \sum_{i=1}^{n} a_i e_i \) , infatti per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( N > 0 \) tale che per ogni \(k_j \geq J \) risulta che \( \begin{Vmatrix} (a_{1,k_j} ,\ldots, a_{n,k_j}) - (a_{1} ,\ldots, a_{n}) \end{Vmatrix}_{2} < \epsilon/C \) pertanto
\[ \begin{Vmatrix} T x_{k_j} - T x \end{Vmatrix}_{Y} = \begin{Vmatrix} (a_{1,k_j} ,\ldots, a_{n,k_j}) - (a_{1} ,\ldots, a_{n})\end{Vmatrix}_{\mathbb{F}^n} \leq C \begin{Vmatrix} (a_{1,k_j} ,\ldots, a_{n,k_j}) - (a_{1} ,\ldots, a_{n}) \end{Vmatrix}_{2} < \epsilon \]
oppure sarebbe meglio scrivere \( y \) al posto di \( Tx \) per scrivere il limite di \( Tx_{k_j} \) ?
A priori il limite potrebbe uscire da \(R(T) \) credo, però mi pare che siccome \( \dim_{\mathbb{F}} R(T) \) allora \(R(T) \) è inoltre chiuso, e dunque necessariamente il limite deve trovarsi al suo interno, visto come sottoinsieme di \(Y\) rispetto alla topologia indotta da \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{Y} \).
Risposte
Probabilmente va bene, ma la stai facendo lunghissima. I limitati, in uno spazio finito-dimensionale, sono precompatti; sia \( B_X \) la palla unitaria di \(X\), e considera \( y \in T(B_X) \). Si ha che \( \|y\|_Y \le \|T\|_{op} \|x\|_X \le \|T\|_{op} \) per un certo \( x \in X \). Ne segue che \( T(B_X) \) è limitato, quindi precompatto.
Grazie, ma cosa intendi per precompatto?
"3m0o":
Grazie, ma cosa intendi per precompatto?
La chiusura è compatta.
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