Operatore compatto
ciao, vorrei avere conferma se sto risolvendo in modo corretto questo esercizio, perché il professore l'ha svolto in maniera differente da un certo punto in poi.
Il testo dice:
$ H=\mathcal{l}^2 $ $ T:H->H $ definito come $ Tx=(0,x_1,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},...,\frac{x_n}{n},...) \ \forallx=(x_1,x_2,...,x_n,...)={x_n}_{n\in\mathbbN\\{0}}\inH $
Dimostra che $ T $ è compatto.
Per dimostrare che $ T $ è compatto dimostro che è limite di una successione di operatori compatti $ (T_Nx)_n $ definita come $ (T_Nx)_n={ ( (T_Nx)_n\ \ \text{se}\ n\leqN ),( 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{se}\ n \geq N+1):} $.
( $ T_N:H->H $ è lineare e limitato con rank finito pari a $ N $ e quindi è compatto).
resta quindi da dimostrare che $ \norm{T_N-T}->0 \, \ N->\infty $.
Fino a qua avrei fatto così anche io, il mio dubbio inizia adesso.
Ora riporto i passaggi svolti dal professore:
$ \norm{(T_N-T)x}_{\mathcall^2}^2=\sum_{n=N+1}^\infty(\frac{x_n}{n})^2\leq \frac{1}{(N+1)^2}\sum_{n=1}^\infty\abs{x_n}^2
=\frac{1}{(N+1)^2}\normx_{\mathcall^2}^2 $
quindi $ \norm{T_N-T}\leq\frac{1}{N+1} \forall \N $ ovvero $ \norm{T_N-T}->0 \ N->\infty $
io invece avrei risolto in questo modo:
$ \norm{(T_N-T)x}_{\mathcall^2}^2=\sum_{n=N+1}^\infty \abs{(Tx)_n}^2 $
siccome $ Tx\in \mathcall^2 $ allora $ Tx $ soddisfa $ \sum_{n=1}^\infty \abs{(Tx)_n}^2<\infty $, quindi $ \sum_{n=N+1}^\infty \abs{(Tx)_n}^2->0 \ N->\infty $ essendo "il resto" (coda) di una serie convergente.
Il modo in cui dimostro io la convergenza a zero di $ \norm{T_N-T} $ è giusto?
Il testo dice:
$ H=\mathcal{l}^2 $ $ T:H->H $ definito come $ Tx=(0,x_1,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},...,\frac{x_n}{n},...) \ \forallx=(x_1,x_2,...,x_n,...)={x_n}_{n\in\mathbbN\\{0}}\inH $
Dimostra che $ T $ è compatto.
Per dimostrare che $ T $ è compatto dimostro che è limite di una successione di operatori compatti $ (T_Nx)_n $ definita come $ (T_Nx)_n={ ( (T_Nx)_n\ \ \text{se}\ n\leqN ),( 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{se}\ n \geq N+1):} $.
( $ T_N:H->H $ è lineare e limitato con rank finito pari a $ N $ e quindi è compatto).
resta quindi da dimostrare che $ \norm{T_N-T}->0 \, \ N->\infty $.
Fino a qua avrei fatto così anche io, il mio dubbio inizia adesso.
Ora riporto i passaggi svolti dal professore:
$ \norm{(T_N-T)x}_{\mathcall^2}^2=\sum_{n=N+1}^\infty(\frac{x_n}{n})^2\leq \frac{1}{(N+1)^2}\sum_{n=1}^\infty\abs{x_n}^2
=\frac{1}{(N+1)^2}\normx_{\mathcall^2}^2 $
quindi $ \norm{T_N-T}\leq\frac{1}{N+1} \forall \N $ ovvero $ \norm{T_N-T}->0 \ N->\infty $
io invece avrei risolto in questo modo:
$ \norm{(T_N-T)x}_{\mathcall^2}^2=\sum_{n=N+1}^\infty \abs{(Tx)_n}^2 $
siccome $ Tx\in \mathcall^2 $ allora $ Tx $ soddisfa $ \sum_{n=1}^\infty \abs{(Tx)_n}^2<\infty $, quindi $ \sum_{n=N+1}^\infty \abs{(Tx)_n}^2->0 \ N->\infty $ essendo "il resto" (coda) di una serie convergente.
Il modo in cui dimostro io la convergenza a zero di $ \norm{T_N-T} $ è giusto?
Risposte
Qui:
che significa?
P.S: La dimostrazione del docente è corretta e chiara: quello che vuoi tentare di fare è trovare una stima della norma operatoriale $norm(T_N - T)$ con una successione che tende a zero; per fare ciò ti serve una successione di costanti $c_N$ tali che $norm((T_N - T)x) <= c_N norm(x)$ per ogni $x in l^2$.
$ \norm{(T_N-T)x}_{\mathcall^2}^2= \norm{(T_N-T)x}_{\mathcall^2}^2 \color{red}{ =\sum_{n=N+1}^\infty \abs{Tx}^2 \norm{(T_N-T)x}_{\mathcall^2}^2}=\sum_{n=N+1}^\infty \abs{Tx}^2 \sum_{n=N+1}^\infty \abs{(Tx)_n}^2 $
che significa?
P.S: La dimostrazione del docente è corretta e chiara: quello che vuoi tentare di fare è trovare una stima della norma operatoriale $norm(T_N - T)$ con una successione che tende a zero; per fare ciò ti serve una successione di costanti $c_N$ tali che $norm((T_N - T)x) <= c_N norm(x)$ per ogni $x in l^2$.
Scusa ora ho corretto. Comunque nella mia soluzione $\mathcalc_N=0 \ \forall N$, non va bene?
No, nella tua soluzione non c'è nessun $c_N$ perché non stai maggiorando come ho detto sopra.
Quello che stai facendo è ottenere:
$norm((T_N - T)x)_2^2 <= sum_(n=N+1)^oo |x_n|^2/n^2$
per ogni $x in l^2$, cioè una maggiorazione puntuale; ciò ti fornisce $T_N x -> Tx$ per ogni $x in l^2$, cioè ti dà una convergenza puntuale (per $x$ fissato), ma non una convergenza $T_N -> T$ in norma operatoriale.
Quello che stai facendo è ottenere:
$norm((T_N - T)x)_2^2 <= sum_(n=N+1)^oo |x_n|^2/n^2$
per ogni $x in l^2$, cioè una maggiorazione puntuale; ciò ti fornisce $T_N x -> Tx$ per ogni $x in l^2$, cioè ti dà una convergenza puntuale (per $x$ fissato), ma non una convergenza $T_N -> T$ in norma operatoriale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo