Operatore autoaggiunto

[tgrammer]

si vuole dimostrare che l'operatore $ i*d/dx $ su $ L^2(RR) $ è autoaggiunto.
la dimostrazione, che ho capito, dimostra che $ (d/dx)^+=-d/(dx $ avendo indicato col simbolo $ + $ l'aggiunto dell'operatore.
da ciò si conclude che $ (i*d/(dx))^+=i*d/dx $

ma non riesco a capire perchè, nell'ultimo passaggio, non ci sia più il segno meno...

[Mephlip]

Potrebbe tornare utile ricordare che il coniugato del prodotto è il prodotto dei coniugati.

[gugo82]

Beh, se non lo capisci, lo puoi dimostrare direttamente.

Prendiamo due funzioni $f,g in C_c^oo(RR) sub L^2(RR)$ e, posto per comodità $T=i ("d")/("d"x)$, integrando per parti e giocando coi coniugati calcoliamo:
\[
\begin{split}
\langle f, T^\dagger g \rangle &= \langle Tf, g \rangle \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} i\ f^\prime (x)\ \overline{g}(x)\ \text{d} x \\
&= - \int_{-\infty}^{+\infty} i\ f(x)\ \Big[ \overline{g}(x)\Big]^\prime\ \text{d} x\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \overline{i\ g^\prime (x)}\ \text{d} x \; ,
\end{split}
\]
da cui \(T^\dagger = i \frac{\text{d}}{\text{d} x}\) per funzioni regolari a supporto compatto; per densità la cosa continua a sussistere ovunque e abbiamo fatto.