O-piccolo e funzioni complesse
Ciao a tutti!
Il problema che ho davanti è il seguente: so che una funzione è derivabile in senso complesso se esiste il $lim_(w->0)(f(z_0+w)-f(z_0))/w$; e voglio arrivare a mostrare che ciò equivale alla definizione di funzione olomorfa $f(z_0+w)-f(z_0)=\gamma w+ \omega (w)|w|$ con $\omega (w)->0$ per $w->0$, ed ho proceduto come segue.
Denomino $\gamma$ il limite del rapporto incrementale, ovvero $f'(z_0)=\gamma$. Poi utilizzo lo sviluppo in serie: $f(z_0+w)=f(z_0)+\gamma w + o(w)_(w->0)$. A questo punto mi sento vicinissimo, ma spaesato. Se è vero che $o(f(x))_(x->0) = f(x)o(1)_(x->0)$, dovrei ottenere che $o(w)_(w->0) = wo(1)_(w->0)$. La funzione $\omega$ dovrebbe dare pochi problemi in quanto tende a zero per $w$ che va sempre a zero, ma il modulo? E poi comunque come formalizzo questa funzione $\omega$?
Ringrazio fin da ora chi riuscirà a darmi una mano
Il problema che ho davanti è il seguente: so che una funzione è derivabile in senso complesso se esiste il $lim_(w->0)(f(z_0+w)-f(z_0))/w$; e voglio arrivare a mostrare che ciò equivale alla definizione di funzione olomorfa $f(z_0+w)-f(z_0)=\gamma w+ \omega (w)|w|$ con $\omega (w)->0$ per $w->0$, ed ho proceduto come segue.
Denomino $\gamma$ il limite del rapporto incrementale, ovvero $f'(z_0)=\gamma$. Poi utilizzo lo sviluppo in serie: $f(z_0+w)=f(z_0)+\gamma w + o(w)_(w->0)$. A questo punto mi sento vicinissimo, ma spaesato. Se è vero che $o(f(x))_(x->0) = f(x)o(1)_(x->0)$, dovrei ottenere che $o(w)_(w->0) = wo(1)_(w->0)$. La funzione $\omega$ dovrebbe dare pochi problemi in quanto tende a zero per $w$ che va sempre a zero, ma il modulo? E poi comunque come formalizzo questa funzione $\omega$?
Ringrazio fin da ora chi riuscirà a darmi una mano
Risposte
scusa ma dove l'hai presa quella definizione di funzione olomorfa? Magari mi sbaglio, ma che io ricordi non c'è mica quel modulo li...
Dalle dispense del mio professore, credo in analogia con le funzioni da $R^2$ ad $R^2$, dove, al posto di quel modulo c'è $sqrt(h^2+k^2)$, dove $k$ è il parametro sulla $x$ ed $h$ sulla $y$. In tal caso si tratta della norma come da definizione, o mi sbaglio? Sono in alto mare forse...
Si Ma allora sarebbe $\omega (|w|)$ e non $\omega(w) \cdot |w|$, in $RR^2$ tu usi il modulo perché non hai definito la divisione per un vettore, ma in $CC$ è ben definita la divisione per un numero complesso, quindi scompare questa necessità.
Sei sicuro che non sia un refuso?
Sei sicuro che non sia un refuso?
Capisco ciò che dici e mi sembra giusto e ragionevole, se mi riuscissi a dare una mano ancora sarei contentissimo! Proviamo così: le dispense a mia disposizione dimostrano il contrario di quello che sto cercando di fare io, ovvero dimostrano che se una funzione è olomorfa essa è derivabile in senso complesso.
Si parte con la definizione di funzione olomorfa:
$f(z_0+w)-f(z_0)=\gamma w+\omega (w)|w|$, con $\omega (w)$ che va a zero per $w$ che va a zero.
Continua dicendo che, ponendo $w=h+ik!=0$ si ottiene:
$(f(z_0+w)-f(z_0))/w=\gamma +|w|/w \omega (w)$.
Dopodiché nota che $|w|/w$ è un numero complesso a modulo unitario e che quindi risulta evidente che la richiesta di olomorfismo equivale a richiedere l'esistenza del limite del rapporto incrementale nel punto $z_0$, cioè la derivabilità di $f$ in tale punto:
$\gamma=lim_(w->0)(f(z_0+w)-f(z_0))/w=f'(z_0)$.
Per dimostrare il passaggio contrario sono partito dallo sviluppo in serie di Taylor con $w$ che tende a zero, e ho riscritto la funzione come:
$f(z_0+w)=f(z_0)+\gamma w+ o(w)_(w->0)$, avendo dato come assunto che la derivata della funzione vale $\gamma$, ovvero ho assunto in partenza la derivabilità in senso complesso scritta poco più sopra.
Da questa posso ottenere:
$f(z_0+w)-f(z_0)=\gamma w+wo(1)_(w->0)$. Definendo una funzione che va a zero più velocemente di $w$, ovvero una $\omega(w)$, arrivo ad una formula quasi uguale a quella dell'olomorfismo, se non fosse per questo discusso modulo, che però sembra essere fondamentale nella dimostrazione che riportano le mie dispense, in quanto se non vi fosse, quel numero complesso lì davanti non sarebbe di modulo unitario e via discorrendo...
Come fare?
Grazie mille
Si parte con la definizione di funzione olomorfa:
$f(z_0+w)-f(z_0)=\gamma w+\omega (w)|w|$, con $\omega (w)$ che va a zero per $w$ che va a zero.
Continua dicendo che, ponendo $w=h+ik!=0$ si ottiene:
$(f(z_0+w)-f(z_0))/w=\gamma +|w|/w \omega (w)$.
Dopodiché nota che $|w|/w$ è un numero complesso a modulo unitario e che quindi risulta evidente che la richiesta di olomorfismo equivale a richiedere l'esistenza del limite del rapporto incrementale nel punto $z_0$, cioè la derivabilità di $f$ in tale punto:
$\gamma=lim_(w->0)(f(z_0+w)-f(z_0))/w=f'(z_0)$.
Per dimostrare il passaggio contrario sono partito dallo sviluppo in serie di Taylor con $w$ che tende a zero, e ho riscritto la funzione come:
$f(z_0+w)=f(z_0)+\gamma w+ o(w)_(w->0)$, avendo dato come assunto che la derivata della funzione vale $\gamma$, ovvero ho assunto in partenza la derivabilità in senso complesso scritta poco più sopra.
Da questa posso ottenere:
$f(z_0+w)-f(z_0)=\gamma w+wo(1)_(w->0)$. Definendo una funzione che va a zero più velocemente di $w$, ovvero una $\omega(w)$, arrivo ad una formula quasi uguale a quella dell'olomorfismo, se non fosse per questo discusso modulo, che però sembra essere fondamentale nella dimostrazione che riportano le mie dispense, in quanto se non vi fosse, quel numero complesso lì davanti non sarebbe di modulo unitario e via discorrendo...
Come fare?
Grazie mille
Nessuno che riesca a svelarmi l'arcano passaggio?
Non sono d'accordo con l'obiezione di Bossmer, il termine $\omega(w)|w|$ serve solo a denotare un generico resto che tende a zero più che linearmente, modulo o non modulo è lo stesso. In altre parole, scrivere \(\omega(|w|)|w|\) è lo stesso che scrivere \(\omega(w)w\), esattamente come scrivere \(o(w)\) è lo stesso che scrivere \(o(|w|)\).
In generale (se \(h\) non si annulla in un intorno di \(z_0\), in modo che abbia senso dividere per \(h(z)\)):
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{g(z)}{h(z)} = w_0\quad \iff \quad g(z)=w_0h(z) + o(h(z)).\]
In effetti la formula a destra non è altro che una riscrittura di quella a sinistra. Basta allora prendere \(g(z)=f(z)-f(z_0), h(z)=z-z_0, w_0=f'(z_0)\).
In generale (se \(h\) non si annulla in un intorno di \(z_0\), in modo che abbia senso dividere per \(h(z)\)):
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{g(z)}{h(z)} = w_0\quad \iff \quad g(z)=w_0h(z) + o(h(z)).\]
In effetti la formula a destra non è altro che una riscrittura di quella a sinistra. Basta allora prendere \(g(z)=f(z)-f(z_0), h(z)=z-z_0, w_0=f'(z_0)\).
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