Norme equivalenti in $W_0^{1,p}(\Omega)$
Sono saturo di disuguaglianze. Non riesco a vedere come provare la seguente disuguaglianza:
\[
||\nabla u||_{L^p(\Omega)}\le C|| u||_{W^{1,p}(\Omega)}
\]
dove:
$u$ è una funzione a supporto compatto
$\Omega$ è un aperto limitato con frontiera regolare ($C^1$) di $R^d$
$||\nabla u||_{L^p(\Omega)}:= ||\ |\nabla u|\ ||_{L^p(\Omega)}$
\[
||\nabla u||_{L^p(\Omega)}\le C|| u||_{W^{1,p}(\Omega)}
\]
dove:
$u$ è una funzione a supporto compatto
$\Omega$ è un aperto limitato con frontiera regolare ($C^1$) di $R^d$
$||\nabla u||_{L^p(\Omega)}:= ||\ |\nabla u|\ ||_{L^p(\Omega)}$
Risposte
Dalla definizione
\[ \| u \|_{W^{1,p}(\Omega)} = \biggl ( \|u\|^p_{L^p(\Omega)} + \| \nabla u\|^p_{L^p(\Omega; \mathbb{R}^d)} \biggr )^{1/p} \]
ti basta notare che la quantità \( \|u\|^p_{L^p(\Omega)} \) è sempre non negativa.
\[ \| u \|_{W^{1,p}(\Omega)} = \biggl ( \|u\|^p_{L^p(\Omega)} + \| \nabla u\|^p_{L^p(\Omega; \mathbb{R}^d)} \biggr )^{1/p} \]
ti basta notare che la quantità \( \|u\|^p_{L^p(\Omega)} \) è sempre non negativa.
Io ho usato come norma nello spazio di Sobolev la seguente
\[
||u||_{W^{1,p}(\Omega)}=(\sum_{|\alpha|\le 1}||\partial^\alpha u||_p^p)^{\frac{1}{p}}.
\]
Mi stai dicendo che le due norme sono equivalenti ?
\[
||u||_{W^{1,p}(\Omega)}=(\sum_{|\alpha|\le 1}||\partial^\alpha u||_p^p)^{\frac{1}{p}}.
\]
Mi stai dicendo che le due norme sono equivalenti ?
Perdonami, non avevo letto bene le tue definizioni, così dovrebbe funzionare:
\[ \| u \|_{W^{1,p}(\Omega)} = \Biggl ( \sum_{|\alpha| \le 1} \|D^{\alpha} u \|^p_{L^p(\Omega)} \Biggr )^{1/p}= \Biggl ( \|u\|^p_{L^p(\Omega)} + \sum_{j=1}^d \Biggl \| \frac{\partial u}{\partial x_j} \Biggr \|^p_{L^p(\Omega)} \Biggr )^{1/p} \ge \Biggl ( \sum_{j=1}^d \Biggl \| \frac{\partial u}{\partial x_j} \Biggr \|^p_{L^p(\Omega)} \Biggr )^{1/p} = \Biggl ( \sum_{j=1}^d \int_{\Omega} \Biggl ( \frac{\partial u}{\partial x_j}(x) \Biggr )^p dx \Biggr )^{1/p} = \Biggl ( \int_{\Omega} \sum_{j=1}^d \Biggl ( \frac{\partial u}{\partial x_j}(x) \Biggr )^p dx \Biggr )^{1/p} = \Biggl ( \int_{\Omega} |\nabla u|_{\ell^p}^p(x) dx \Biggr )^{1/p} \ge \Biggl ( \int_{\Omega} c |\nabla u|_{\ell^2}^p(x) dx \Biggr )^{1/p} = c^{1/p} \Biggl ( \int_{\Omega} |\nabla u|_{\ell^2}^p(x) dx \Biggr )^{1/p} = \frac{1}{C} \|\nabla u\|_{L^p(\Omega;\mathbb{R}^d)} \]
Dove \( c \in (0,+\infty) \) è la costante che regola l'equivalenza tra le norme \( \ell^p \) e \( \ell^2 \) in \( \mathbb{R}^d \) e \( C:= \frac{1}{c^{1/p}} \). Infatti penso che con il simbolo \( |\mathbf{v} | \) tu intenda la norma euclidea di \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^d \).
\[ \| u \|_{W^{1,p}(\Omega)} = \Biggl ( \sum_{|\alpha| \le 1} \|D^{\alpha} u \|^p_{L^p(\Omega)} \Biggr )^{1/p}= \Biggl ( \|u\|^p_{L^p(\Omega)} + \sum_{j=1}^d \Biggl \| \frac{\partial u}{\partial x_j} \Biggr \|^p_{L^p(\Omega)} \Biggr )^{1/p} \ge \Biggl ( \sum_{j=1}^d \Biggl \| \frac{\partial u}{\partial x_j} \Biggr \|^p_{L^p(\Omega)} \Biggr )^{1/p} = \Biggl ( \sum_{j=1}^d \int_{\Omega} \Biggl ( \frac{\partial u}{\partial x_j}(x) \Biggr )^p dx \Biggr )^{1/p} = \Biggl ( \int_{\Omega} \sum_{j=1}^d \Biggl ( \frac{\partial u}{\partial x_j}(x) \Biggr )^p dx \Biggr )^{1/p} = \Biggl ( \int_{\Omega} |\nabla u|_{\ell^p}^p(x) dx \Biggr )^{1/p} \ge \Biggl ( \int_{\Omega} c |\nabla u|_{\ell^2}^p(x) dx \Biggr )^{1/p} = c^{1/p} \Biggl ( \int_{\Omega} |\nabla u|_{\ell^2}^p(x) dx \Biggr )^{1/p} = \frac{1}{C} \|\nabla u\|_{L^p(\Omega;\mathbb{R}^d)} \]
Dove \( c \in (0,+\infty) \) è la costante che regola l'equivalenza tra le norme \( \ell^p \) e \( \ell^2 \) in \( \mathbb{R}^d \) e \( C:= \frac{1}{c^{1/p}} \). Infatti penso che con il simbolo \( |\mathbf{v} | \) tu intenda la norma euclidea di \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^d \).
"Wilde":
Io ho usato come norma nello spazio di Sobolev la seguente
\[
||u||_{W^{1,p}(\Omega)}=(\sum_{|\alpha|\le 1}||\partial^\alpha u||_p^p)^{\frac{1}{p}}.
\]
Mi stai dicendo che le due norme sono equivalenti ?
Eh si. In realtà si può dire una cosa ancora più precisa (qui prendo \(p=1\) perché è il caso che ti interessa):
\[
C\sum_1^n \|\partial_j f\|_{L^1} \le \| \nabla f\|_{L^1} \le \sum_1^n \|\partial_j f\|_{L^1}.\]
(La costante \(C>0\) non è importante, ma credo tu possa prendere \(C=\sqrt{n}\) o qualcosa del genere).
Prova a dimostrarlo, è più facile di quanto sembri.
P.S.: Non ho letto il post di Bremen, ma credo diciamo cose leggermente diverse.
Avevo già letto la risposta di Bremen000 ma non avevo risposto perchè volevo postare la dimostrazione dell'equivalenza delle norme, anche se in realtà penso si faccia praticamente sfruttando quello che avete scritto ma non ho avuto tempo per rifletterci (appena riesco lo faccio).
Per quanto riguarda le disuguaglianze
\[ C\sum_1^n \|\partial_j f\|_{L^1} \le \| \nabla f\|_{L^1} \le \sum_1^n \|\partial_j f\|_{L^1}. \]
La prima si ricava come fatto da Bremen000 sfruttando l'equivalenza tra le norme $|\ |_{l_1}$ e $|\ |_{l_2}$ in $R^d$.
la seconda segue dal fatto che
\[
\left(\sum_{i=1}^dx_i^2\right)^\frac{1}{2}\le \sqrt{\left(\sum_{i=1}^d|x_i|\right)^2}=\left(\sum_{i=1}^d|x_i|\right)
\]
Spero di non aver sbagliato e vi ringrazio per l'aiuto.
Appena posso scrivo qualcosa di più completo.
Per quanto riguarda le disuguaglianze
\[ C\sum_1^n \|\partial_j f\|_{L^1} \le \| \nabla f\|_{L^1} \le \sum_1^n \|\partial_j f\|_{L^1}. \]
La prima si ricava come fatto da Bremen000 sfruttando l'equivalenza tra le norme $|\ |_{l_1}$ e $|\ |_{l_2}$ in $R^d$.
la seconda segue dal fatto che
\[
\left(\sum_{i=1}^dx_i^2\right)^\frac{1}{2}\le \sqrt{\left(\sum_{i=1}^d|x_i|\right)^2}=\left(\sum_{i=1}^d|x_i|\right)
\]
Spero di non aver sbagliato e vi ringrazio per l'aiuto.
Appena posso scrivo qualcosa di più completo.
È esatto.
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