Norme equivalenti danno luogo a norme di operatori equivalenti

[marco2132k]

\( \newcommand{\abs}[1]{{\lVert{#1}\rVert}} \)Ciao. Siano \( E \) ed \( F \) spazi vettoriali, e siano rispettivamente \( \abs{{-}}_{E_1} \), \( \abs{{-}}_{E_2} \) e \( \abs{{-}}_{F_1} \), \( \abs{{-}}_{F_2} \) due coppie di norme su \( E \) e su \( F \). Se serve, è \( E_i := \left(E,\abs{{-}}_{E_i}\right) \) e \( F_i := \left(F,\abs{{-}}_{F_i}\right) \) per \( i = 1,2 \).

Sia \( u\colon E\to F \) un operatore lineare. Provo a dimostrare che, se le norme precedenti sono equivalenti rispettivamente su \( E \) e su \( F \), allora un operatore lineare \( u\colon E\to F \) è limitato rispetto alle norme-con-l1 se e solo se lo è rispetto alle norme-con-il-2, e le norme
\[
\abs{u}_1 := \sup_{\abs{x}_{E_1}\leqq 1}\abs{u(x)}_{F_1}\qquad \abs{u}_2 := \sup_{\abs{x}_{E_2}\leqq 1}\abs{u(x)}_{F_2}
\] sono equivalenti.

Sia \( u \) limitato rispetto alle norme-con-l1. Chiaramente \( u \) è limitato anche rispetto all'altra coppia di norme: esiste un \( N\in\mathbb R \), \( N > 0 \), tale che
\[
\abs{u(x)}_{F_1}\leqq N\abs{x}_{F_1}
\] per ogni \( x\in E \) quindi, tenendo conto che è
\[
a\abs{x}_{E_1}\leqq \abs{x}_{E_2}\leqq b\abs{x}_{E_1}\\
a^\prime\abs{u(x)}_{F_1}\leqq \abs{u(x)}_{F_2}\leqq b^\prime\abs{u(x)}_{F_1}
\] per opportuni \( a,a^\prime,b,b^\prime \) reali \( > 0 \) (se \( x\neq 0 \), che può benissimo essere assunto in quanto il caso \( x = 0 \) è banale), è
\[
\abs{u(x)}_{F_2}\leqq b^\prime Nb\abs{x}_{E_2}\text{.}
\] L'altra direzione è pressoché identica.

Ora, per \( x\in E \) è non nullo e tale che \( \abs{x}_{E_2}\leqq 1 \), tenendo d'occhio le disuguaglianze sopra abbiamo
\[
\abs{u(x)}_{F_2}\leqq\frac{b^\prime}{a}\abs{u}_1
\] (perché è \( a\abs{x}_{E_1}\leqq\abs{x}_{E_1}\leqq 1 \) e quindi \( a\abs{u(x)}_{F_1}\leqq \abs{u}_1 \)) e quindi
\[
\abs{u}_2\leqq \frac{b^\prime}{a}\abs{u}_1\text{.}
\] Da qui adesso non mi mi viene come concludere che
\[
\alpha\abs{u}_1 \leqq \abs{u}_2
\] per qualche \( \alpha > 0 \).

Come va fin qui?

[otta96]

Secondo me la stai facendo più complicata di quello che è: hai che $a||x||_(E_1)<=||x||_(E_2)<=A||x||_(E_1)AAx\in E$ e $b||x||_(F_1)<=||x||_(F_2)<=B||x||_(F_1)AAx\inF$ per delle opportune costanti, quindi $b/A||u||_1<=||u||_2<=B/a||u||_1$.

[marco2132k]

Sì, l’ho fatta un attimino più complicata perché ho dimostrato che \(u\) è limitata rispetto alle norme-con-1 sse lo è rispetto alle norme-con-2 usando l definizione di operatore limitato; questo chiaramente non serviva.

Che debba valere \( {\lVert u\rVert}_2\leqq\frac Ba {\lVert u\rVert}_1\) ci sono; mi mancava l’altro pezzo.