Norma negli spazi di Banach
Ciao a tutti.
Questo è la mia prima domanda quindi spero di non aver sbagliato categoria.
Sto studiando metodi variazionali e il programma inizia con un veloce ripasso degli spazi di Banach. Tra gli esercizi di ripasso ce n'è uno che ho provato a svolgere ma non ho avuto successo; ve lo propongo:
a) Mostrare che: ||x||=sup f(x) con ||f||=1 in X'
b) Mostrare che la funzione F(x)=||x|| è s.c.i. (semicontinua inferiormente) rispetto alla convergenza debole su X
c) Spiegare perchè per p>0 la funzione F(x)=||x||^p risulta s.c.i. rispetto alla convergenza debole su X. Cosa si può dire a tal riguardo delle due funzioni exp(||x||) e exp(-||x||) ?
Il punto a) proprio non so come svolgerlo perchè la trovo una cosa scontata quindi non saprei proprio da dove partire; per il punto b) sono riuscita ad abbozzare una soluzione usando il teorema di Hann-Banach per poi arrivare a dimostrare che la norma di x è minore o uguale del liminf della norma della successione x con n (non so come si scrive in latex). Il punto c) non so svolgerlo...Mi illuminate per favore?
Questo è la mia prima domanda quindi spero di non aver sbagliato categoria.
Sto studiando metodi variazionali e il programma inizia con un veloce ripasso degli spazi di Banach. Tra gli esercizi di ripasso ce n'è uno che ho provato a svolgere ma non ho avuto successo; ve lo propongo:
a) Mostrare che: ||x||=sup f(x) con ||f||=1 in X'
b) Mostrare che la funzione F(x)=||x|| è s.c.i. (semicontinua inferiormente) rispetto alla convergenza debole su X
c) Spiegare perchè per p>0 la funzione F(x)=||x||^p risulta s.c.i. rispetto alla convergenza debole su X. Cosa si può dire a tal riguardo delle due funzioni exp(||x||) e exp(-||x||) ?
Il punto a) proprio non so come svolgerlo perchè la trovo una cosa scontata quindi non saprei proprio da dove partire; per il punto b) sono riuscita ad abbozzare una soluzione usando il teorema di Hann-Banach per poi arrivare a dimostrare che la norma di x è minore o uguale del liminf della norma della successione x con n (non so come si scrive in latex). Il punto c) non so svolgerlo...Mi illuminate per favore?
Risposte
CIa0,
benvenuta!
Ebbene sì: hai sbagliato sezione.
...e non ho capìto il primo punto!
benvenuta!
Ebbene sì: hai sbagliato sezione.
...e non ho capìto il primo punto!
Oh scusa 
Dove avrei dovuto postarlo?
Nel primo punto bisogna mostrare che la norma di x è uguale all'estremo superiore dei funzionali f(x) che si trovano nel duale di X, cioè X'; l'estremo superiore va scelto tra tutti i funzionali che hanno norma pari a 1.
Dove avrei dovuto postarlo?
Nel primo punto bisogna mostrare che la norma di x è uguale all'estremo superiore dei funzionali f(x) che si trovano nel duale di X, cioè X'; l'estremo superiore va scelto tra tutti i funzionali che hanno norma pari a 1.
Avresti dovuto chiedere nella stanza di analisi matematica!
Ah ok, grazie
[xdom="vict85"]Sposto in analisi matematica.[/xdom]
"RobertaL":
Ciao a tutti.
Questo è la mia prima domanda quindi spero di non aver sbagliato categoria.
Sto studiando metodi variazionali e il programma inizia con un veloce ripasso degli spazi di Banach. Tra gli esercizi di ripasso ce n'è uno che ho provato a svolgere ma non ho avuto successo; ve lo propongo:
a) Mostrare che: ||x||=sup f(x) con ||f||=1 in X'
b) Mostrare che la funzione F(x)=||x|| è s.c.i. (semicontinua inferiormente) rispetto alla convergenza debole su X
c) Spiegare perchè per p>0 la funzione F(x)=||x||^p risulta s.c.i. rispetto alla convergenza debole su X. Cosa si può dire a tal riguardo delle due funzioni exp(||x||) e exp(-||x||) ?
Il punto a) proprio non so come svolgerlo perchè la trovo una cosa scontata quindi non saprei proprio da dove partire; per il punto b) sono riuscita ad abbozzare una soluzione usando il teorema di Hann-Banach per poi arrivare a dimostrare che la norma di x è minore o uguale del liminf della norma della successione x con n (non so come si scrive in latex). Il punto c) non so svolgerlo...Mi illuminate per favore?
a) First, it's clear that, for all $f\in X'$ with $\|f\|_{X'}=1$ we have $|f(x)|\leq \|x\|_X$, so $\|x\|_X\ge \text{sup}_{f\in X', \|f\|_{X'}=1} |f(x)|$ Now, by Hahn-Banach's theorem, there exists a bounded linear form $f\in X'$ (which depends on $x$) such that $\|f\|_{X'}=1$ and $|f(x)|=\|x\|_X$. Then, the supremum is actually a maximum. This proves part a).
b) I never worked with the concept of semicontinuity, but maybe I'll be able to help you. Let $\{x_n\}\subset X$ be a sequence with weak limit $x_0$. Then, for all $f\in X'$, we have $f(x_n)\to f(x_0)$ when $n\to\infty$. By Hahn-Banach's theorem, we have a function $g\in X'$ (which depends on $x$) with $\|g\|_{X'}=1$ and $g(x)=\|x\|_X=F(x)$. Now, we have that $F(x)=|g(x)|=\lim_{n\to\infty}|g(x_n)|=\lim\text{inf}_{n\to\infty\}|g(x_n)|\leq \lim\text{inf}_{n\to\infty\}\|x_n\|_X=\lim\text{inf}_{n\to\infty\} F(x_n)$.
c) With $\|x\|_X^p$ and $\exp(\|x\|_X)$ the result can be deduced (If the argument above is correct) by continuity and monotonicity of these functions. For the function $\exp(-\|x\|_X)$ you can't use the monotonicity, so I think it should be false.
Ok, I've been thinking and this is the result for $\exp(-\|x\|_X)$:
Take $X$ a Hilbert space and $\{e_n\}$ a Hilbert basis of $X$. On one hand, as we know by the Fourier series theory, we have that $\langle e_n,x\rangle\to 0$ when $n\to\infty $ which, by Riesz representation theorem, implies that $\{e_n\}\to 0$ in the weak topology. On the other hand, as $\{e_n\}$ is an orthonormal family, we have $\|e_n\|_X=1$ for all $n\in\mathbb{N}$. Then, the sequence $\{e_n\}$ converges weakly to $0$ but $1=e^{-0}>e^{-1}=\lim\text{inf}e^{-\|e_n\|_X}$. This means that $\exp(-\|x\|_X)$ is not weakly lower semicontinuous.
Take $X$ a Hilbert space and $\{e_n\}$ a Hilbert basis of $X$. On one hand, as we know by the Fourier series theory, we have that $\langle e_n,x\rangle\to 0$ when $n\to\infty $ which, by Riesz representation theorem, implies that $\{e_n\}\to 0$ in the weak topology. On the other hand, as $\{e_n\}$ is an orthonormal family, we have $\|e_n\|_X=1$ for all $n\in\mathbb{N}$. Then, the sequence $\{e_n\}$ converges weakly to $0$ but $1=e^{-0}>e^{-1}=\lim\text{inf}e^{-\|e_n\|_X}$. This means that $\exp(-\|x\|_X)$ is not weakly lower semicontinuous.
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