Norma L2

[giulia5395]

Buonasera a tutti,
mi sono imbattuta in un esercizio di analisi in cui si parla della norma L2.
La mia domanda è: si può dire a priori che la norma L2 è maggiore o uguale a 1?
Mi sembra che il mio professore abbia detto così ma non ho trovato altri risultati online e magari è stata solo una mia svista nel ricopiare gli appunti.
Grazie in anticipo dell'aiuto.
Giulia

[Sk_Anonymous]

Assolutamente no. Prendi \( f \in L^2 ([0,1]) \) e considera \( f/(2 \|f\|_{L^2})\).

[_fabricius_1]

Ma più in generale, se hai una norma su uno spazio diverso da $\{0\}$, questa assumerà valori arbitrariamente grandi per omogeneità. Prendi un qualsiasi elemento non nullo $f$ dello spazio, per definizione di norma sai che la sua norma non è nulla. Ma allora per ogni $\lambda \in \mathbb K$
\[ ||\lambda f||=|\lambda| \quad||f|| \stackrel{\lambda\to \infty}{\longrightarrow} \infty.\]

[dissonance]

Forse ho capito che cosa hai copiato malamente. Questa disuguaglianza:
\[
\|f\|_{L^1(0, 1)}\le \| f\|_{L^2(0, 1)}.\]