Non ho capito un integrale
Ciao, mi ero posto una domanda (so che anticiperà forse cose che verò poi ma ormai sono curioso e non saprei a chi chiedere).
Studiando geometria c'era lintroduzione ai complesi e so che $e^(-ix)=cosx-isinx$ allo stesso modo $e^(-ix^2)=cos(x^2)-isin(x^2)$
Mi ero quindi posto una domanda, quando io ho degli integrali nei complessi in teoria potendo sempre spezzre come a+ib mi sembrerebbe che posso svolgere un integrale sulla prima parte +i integrale della seconda parte, è corretto?
A questo punto mi ero chiesto ma se integro qualcosa tipo una gaussiana ma che è oscillatoria cosa ottengo?:
$int_-oo^ooe^(-ix) dx$ e $int_-oo^ooe^(-ix^2)dx$ e mi sono detto beh se sono seni e coseni integro: $cosx-isinx$ e nel secondo caso $cos(x^2)-isin(x^2)$,e quindi qualcosa che oscilla all'iinfinio mi aspettavo non convergesse.
Invece da wolfram il primo converge e il secondo no. Ma non capisco perché, non si può spezzare come ho fatto io in integrale sulla prima parte +i integrale della seconda parte(cioè parte immaginaria). Cosa mi sfugge?
D'altra parte poi mi chiedevo ma se integrassi in dz inteso come z in C cosa avrei? ad esempio per $int_-oo^ooe^(-ix)/z dz$
Studiando geometria c'era lintroduzione ai complesi e so che $e^(-ix)=cosx-isinx$ allo stesso modo $e^(-ix^2)=cos(x^2)-isin(x^2)$
Mi ero quindi posto una domanda, quando io ho degli integrali nei complessi in teoria potendo sempre spezzre come a+ib mi sembrerebbe che posso svolgere un integrale sulla prima parte +i integrale della seconda parte, è corretto?
A questo punto mi ero chiesto ma se integro qualcosa tipo una gaussiana ma che è oscillatoria cosa ottengo?:
$int_-oo^ooe^(-ix) dx$ e $int_-oo^ooe^(-ix^2)dx$ e mi sono detto beh se sono seni e coseni integro: $cosx-isinx$ e nel secondo caso $cos(x^2)-isin(x^2)$,e quindi qualcosa che oscilla all'iinfinio mi aspettavo non convergesse.
Invece da wolfram il primo converge e il secondo no. Ma non capisco perché, non si può spezzare come ho fatto io in integrale sulla prima parte +i integrale della seconda parte(cioè parte immaginaria). Cosa mi sfugge?
D'altra parte poi mi chiedevo ma se integrassi in dz inteso come z in C cosa avrei? ad esempio per $int_-oo^ooe^(-ix)/z dz$
Risposte
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Grazie grazie!
Hai ragione, la seconda parte l'ho liquidata con oscilla quindi non sappiamo integrare, ma in effetti esiste eccome il secondo integrale, potevo pensarci meglio
..
Non ho cpaito però la prima parte: f:R→C e f:C→C cioè quando posso spezzare e quando no?
Inoltre, gli esempi dei miei integrali in dx e dz come si risolverebbero? ho una gran curiosità, ovviamente non chiedo un trattato iper formale, ma solo per star tranquillo finché non li affronto specificatamente. Solo che ormai non ci dormo di notte perché vorrei capire meglio XD
Hai ragione, la seconda parte l'ho liquidata con oscilla quindi non sappiamo integrare, ma in effetti esiste eccome il secondo integrale, potevo pensarci meglio
..Non ho cpaito però la prima parte: f:R→C e f:C→C cioè quando posso spezzare e quando no?
Inoltre, gli esempi dei miei integrali in dx e dz come si risolverebbero? ho una gran curiosità, ovviamente non chiedo un trattato iper formale, ma solo per star tranquillo finché non li affronto specificatamente. Solo che ormai non ci dormo di notte perché vorrei capire meglio XD
Il linguaggio delle forme differenziali chiarirà queste cose. In particolare, sui complessi puoi integrare una funzione "in dz" solo lungo un cammino, perché una k-forma differenziale si integra solo lungo una varietà di dimensione k
@sellacollesella Ti dò il Compasso d'oro per la grafica più bella!
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"sellacollesella":
Ti ringrazio! Però, forse, più che a me andrebbe allo zio Wolfram.
No no parlavo di tutta l'impostazione della pagina, sfondo compreso, non del grafico della funzione.
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Eh lo vedi?! Quello avevo notato, in primis, l'azzurro dell'immagine uguale all'azzurro di Matematicamente, così non si vede il riquadro, e tutto risulta armonioso e celestiale!
Grazie, saranno quindi cose che vedrò.
Stavo dando una occhiata qui: http://personalpages.to.infn.it/~frau/ab/p1-3.pdf prima cosa trovata in rete e mi pare di intuirne la differenza tra dx e dz. In dz in sostanza devo fare una parametrizzazione.
Tuttavia l'integrando mi pare sempre di poterlo scomporre ad esempio se ho $e^(ix)=sinx+icosx$ e $z=x+iy$ scrivo per $(e^(ix))/z=(sinx+icosx)/(x+iy)$ poi beh razionalizzo ecc e mi trovo con una $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ in pratica... e mi porto a poter integrare:
$int_a^b[u(x,y)(d(x(t)))/(dt)-v(x,y)(d(y(t)))/(dt)]dt+i int_a^b[v(x,y)(d(x(t)))/(dt)+u(x,y)(d(y(t)))/(dt)]dt$
Giusto? Vorrei solo capirne l'idea se è corretta.
Stavo dando una occhiata qui: http://personalpages.to.infn.it/~frau/ab/p1-3.pdf prima cosa trovata in rete e mi pare di intuirne la differenza tra dx e dz. In dz in sostanza devo fare una parametrizzazione.
Tuttavia l'integrando mi pare sempre di poterlo scomporre ad esempio se ho $e^(ix)=sinx+icosx$ e $z=x+iy$ scrivo per $(e^(ix))/z=(sinx+icosx)/(x+iy)$ poi beh razionalizzo ecc e mi trovo con una $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ in pratica... e mi porto a poter integrare:
$int_a^b[u(x,y)(d(x(t)))/(dt)-v(x,y)(d(y(t)))/(dt)]dt+i int_a^b[v(x,y)(d(x(t)))/(dt)+u(x,y)(d(y(t)))/(dt)]dt$
Giusto? Vorrei solo capirne l'idea se è corretta.
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"sellacollesella":Che è la stessa cosa che ho detto io.
mentre nel caso di una funzione complessa di variabile complessa non bastano gli estremi, bisogna per forza specificare la curva lungo la quale si intende integrare.
"sellacollesella":Sì, direi che leggendo quelle note e quello che hai detto mi torna.
La differenza sostanziale è che nel caso di una funzione complessa di variabile reale è implicito che si stia integrando lungo un segmento di retta, basta specificare gli estremi, ossia l'intervallo \([a,b]\), mentre nel caso di una funzione complessa di variabile complessa non bastano gli estremi, bisogna per forza specificare la curva lungo la quale si intende integrare. Ecco un paio di esempi semplicissimi per capire la differenza: \[
\begin{aligned}
&\int_0^1 e^{it}\text{d}t=\int_0^1 \cos(t)\,\text{d}t+i\int_0^1\sin(t)\,\text{d}t=\sin(1)+i\left(1-\cos(1)\right);\\
&\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}\,\text{d}z=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}\left(i\,e^{it}\text{d}t\right)=i\int_0^{2\pi} 1\,\text{d}t=2\pi\,i\,.
\end{aligned}
\] In quest'ultimo caso mi sono limitato all'applicazione del metodo diretto, ma poi vi sono altre strade indispensabili in casi più complicati, quali la formula integrale di Cauchy e il teorema dei residui.
nel secondo usi la rappresentazone complessa (cioè alla fine parametrizzi $z=e^(it)$ se non erro? nel caso correggimi ti prego :lol: ) e quindi poi $(dz)/(dt)=ie^(ix)$ ma penso che potrei anche fare: $int_0^(2pi)1/(cost+isint)(dz)/(dt)dt$ e avere come $z(t)=(cost+isint)$ e risolvere, No?
Mentre per il primo dici che è lungo una retta perché alla fine avendo $f:RR->CC$ ho che nel tuo esempio $int_0^1e^(it)dt$ posso vedere $z(t):t->t$ e quindi l'integrale complesso $int_0^tf(z(t))(dz)/(dt)dt$ avendo $(dz)/(dt)=1$ si riduce al semplice $int_0^tf(z(t))dt$ in pratica? Se ho ben capito l'interpretazione che ne davi.
Spero fin qua di non aver detto cretinate
Però non ho capito una cosa, quello che scrivevo nel mio ultimo post è giusto (intendo quello di pagina precedente)? mi pare di sì, perché alla fine ho scritto quello che dicevi, ma vorrei esserne sicuro.
Cioè, non sono stato a fare il calcolo ma mi sembra sia proprio quella l'idea, sbaglio?
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certo certo e ti ringrazio, ma in realtà quello che hai scritto mi pare funzionare.
Più che altro quello che mi premeva capire e volevo chiedere è se anche questa riscrittura avesse una sua dignità di correttezza
Per il resto in realtà quello che mi hai scritto mi pare chiarissimo (per quello che posso aver capito ovviamente in breve tempo)
ti ringrazo
Più che altro quello che mi premeva capire e volevo chiedere è se anche questa riscrittura avesse una sua dignità di correttezza
"gazebbo":
nel secondo usi la rappresentazone complessa (cioè alla fine parametrizzi $z=e^(it)$ se non erro? nel caso correggimi ti prego :lol: ) e quindi poi $(dz)/(dt)=ie^(ix)$ ma penso che potrei anche fare: $int_0^(2pi)1/(cost+isint)(dz)/(dt)dt$ e avere come $z(t)=(cost+isint)$ e risolvere, No?
Mentre per il primo dici che è lungo una retta perché alla fine avendo $f:RR->CC$ ho che nel tuo esempio $int_0^1e^(it)dt$ posso vedere $z(t):t->t$ e quindi l'integrale complesso $int_0^tf(z(t))(dz)/(dt)dt$ avendo $(dz)/(dt)=1$ si riduce al semplice $int_0^tf(z(t))dt$ in pratica? Se ho ben capito l'interpretazione che ne davi.
Spero fin qua di non aver detto cretinate
Per il resto in realtà quello che mi hai scritto mi pare chiarissimo (per quello che posso aver capito ovviamente in breve tempo)
ti ringrazo
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Ok mi è venuto quello C->C,
mi rimangono solo due curiosità:
1) in effetti per quello da R->C non c'è nessuna z come dici tu, tuttavia quello che volevo dire io è che se contidero $z(t)=t in RR$ d'altra parte nessuno vieta di dire che un numero reale è nei compelssi (sono contenuti), allora in quel caso $int_0^1f(z(t))(dz)/(dt)dt$ avendo $(dz)/(dt)=1$ si riduce al semplice $int_0^1f(z(t))dt$ non capisco cosa ci sia di sbagliato in questo.
Nel senso: io ho capito quello che dici, ma mi sembra che con questo trick riesco a ridurre il caso summenzionato al caso C->C.
2) l'altra cosa che non riesco a capire invece è la seguente: come detto posso sviluppare $int_0^(2pi)1/(cost+isint)(dz)/(dt)dt$ e fare come in quel pdf.
Tuttavia non capisco perché se parametrizzo come $z(t)=e^(it)$ e svolgo
$
\oint_{|z|=1}\frac{1}{z} text{d}z=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}\left(i e^{it}\text{d}t\right)=i\int_0^{2\pi} 1\ text{d}t=2\pi\i\.
$
funziona lo stesso, cioè mi lascia colpito il fatto che derivando la rappresentazione complessa $d(z)/(dt)$ è come avere
$∫_a^b f(z(t))(dz)/(dt)dt=int_a^b[u(x,y)(d(x(t)))/(dt)-v(x,y)(d(y(t)))/(dt)]dt+i int_a^b[v(x,y)(d(x(t)))/(dt)+u(x,y)(d(y(t)))/(dt)]dt $ (*).
Io di fatto definisco l'integrale complesso come fatto in asterisco (*) quindi mi chiedo, come dimostro che $∫_a^b f(z(t))(dz)/(dt)dt$ pur senza usare il fattore $(dx(t))/(dt)+i(dy(t))/dt$ besì usando invece $(d(e^it))/(dt)$ funziona lo stesso?
[EDIT] ok forse sul secondo ci sono, come detto parametrizzo la circonferenza $z(t)=e^(it)$ che equivale a $cos(t)+isint$ va quindi da sé che derivare dz/dt, cioè: $(dx(t))/(dt)+i(dy(t))/dt$ è qui derivare: $(dsin(t))/(dt)+i(dcos(t))/dt$ che equivale a derivare $(de^(it))/(dt)$. La spiegazione è questa dell edit giusto? forse ci sono arrivato! idiota me.
mi rimangono solo due curiosità:
1) in effetti per quello da R->C non c'è nessuna z come dici tu, tuttavia quello che volevo dire io è che se contidero $z(t)=t in RR$ d'altra parte nessuno vieta di dire che un numero reale è nei compelssi (sono contenuti), allora in quel caso $int_0^1f(z(t))(dz)/(dt)dt$ avendo $(dz)/(dt)=1$ si riduce al semplice $int_0^1f(z(t))dt$ non capisco cosa ci sia di sbagliato in questo.
Nel senso: io ho capito quello che dici, ma mi sembra che con questo trick riesco a ridurre il caso summenzionato al caso C->C.
2) l'altra cosa che non riesco a capire invece è la seguente: come detto posso sviluppare $int_0^(2pi)1/(cost+isint)(dz)/(dt)dt$ e fare come in quel pdf.
Tuttavia non capisco perché se parametrizzo come $z(t)=e^(it)$ e svolgo
$
\oint_{|z|=1}\frac{1}{z} text{d}z=\int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}\left(i e^{it}\text{d}t\right)=i\int_0^{2\pi} 1\ text{d}t=2\pi\i\.
$
funziona lo stesso, cioè mi lascia colpito il fatto che derivando la rappresentazione complessa $d(z)/(dt)$ è come avere
$∫_a^b f(z(t))(dz)/(dt)dt=int_a^b[u(x,y)(d(x(t)))/(dt)-v(x,y)(d(y(t)))/(dt)]dt+i int_a^b[v(x,y)(d(x(t)))/(dt)+u(x,y)(d(y(t)))/(dt)]dt $ (*).
Io di fatto definisco l'integrale complesso come fatto in asterisco (*) quindi mi chiedo, come dimostro che $∫_a^b f(z(t))(dz)/(dt)dt$ pur senza usare il fattore $(dx(t))/(dt)+i(dy(t))/dt$ besì usando invece $(d(e^it))/(dt)$ funziona lo stesso?
[EDIT] ok forse sul secondo ci sono, come detto parametrizzo la circonferenza $z(t)=e^(it)$ che equivale a $cos(t)+isint$ va quindi da sé che derivare dz/dt, cioè: $(dx(t))/(dt)+i(dy(t))/dt$ è qui derivare: $(dsin(t))/(dt)+i(dcos(t))/dt$ che equivale a derivare $(de^(it))/(dt)$. La spiegazione è questa dell edit giusto?
forse ci sono arrivato! idiota me.
PS: solo per chiearire meglio il punto uno di quel link, la mia idea era parametrizzare $z(t)=t$ in poche parole cosicché z:C->R che tanto è contenuto in C. E integro su quel percorso sfruttando la definizione di integrale della curva.
per il punto 2) invece spero sia chiaro l'edit volevo solo capire se aveva senso.
per il punto 2) invece spero sia chiaro l'edit
volevo solo capire se aveva senso.
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