Modulo funzione complessa
Salve ragazzi.
Vorrei capire come devo svolgere questo tipo di esercizi.
Data f(z)= e^(e^z) devo calcolare l f(z) l.
Ora, so come si calcola il modulo di z.. ma per la funzione come devo comportarmi?
Grazie
Vorrei capire come devo svolgere questo tipo di esercizi.
Data f(z)= e^(e^z) devo calcolare l f(z) l.
Ora, so come si calcola il modulo di z.. ma per la funzione come devo comportarmi?
Grazie
Risposte
Ciao. A me verrebbe da dire che essendo un'esponenziale ha modulo $1$. Del resto se fai i calcoli::
[size=140]
$|e^(e^z)|^2=e^(e^z)*e^(e^bar(z))=e^(e^z+e^bar(z))=e^(e^(x+1y)+e^(x-iy))=e^(e^x*(e^(iy)+e^(-iy)))=e^(e^x*0)=e^0=1$[/size].
EDIT: nei passaggi precedenti c'è un grossolano errore che viene corretto più avanti.
[size=140]
$|e^(e^z)|^2=e^(e^z)*e^(e^bar(z))=e^(e^z+e^bar(z))=e^(e^(x+1y)+e^(x-iy))=e^(e^x*(e^(iy)+e^(-iy)))=e^(e^x*0)=e^0=1$[/size].
EDIT: nei passaggi precedenti c'è un grossolano errore che viene corretto più avanti.
You computations are not correct. The correct way to compute $|f(z)|$ is, in this case, the following one:
If $z=re^{i\theta}$, then, if I'm not mistaken,
$$|e^{e^z}|=e^{Re(e^z)}=e^{Re(e^{r\cos\theta+i r\sin\theta})}=e^{Re(e^{r\cos\theta}e^{i r\sin\theta})}=e^{Re[e^{r\cos\theta}(\cos(r\sin\theta)+i\sin(r\sin\theta))]}=e^{Re[e^{r\cos\theta}\cos(r\sin\theta)]}.$$
The key point is the fact that, for a given $z=re^{i\theta}=r(cos\theta+i\sin\theta)$, we have that
$$|e^z|=|e^{r(cos\theta+i\sin\theta)}|=|e^{r\cos\theta}||e^{ir\sin\theta}|=e^{r\cos\theta}=e^{Re(z)}.$$
If $z=re^{i\theta}$, then, if I'm not mistaken,
$$|e^{e^z}|=e^{Re(e^z)}=e^{Re(e^{r\cos\theta+i r\sin\theta})}=e^{Re(e^{r\cos\theta}e^{i r\sin\theta})}=e^{Re[e^{r\cos\theta}(\cos(r\sin\theta)+i\sin(r\sin\theta))]}=e^{Re[e^{r\cos\theta}\cos(r\sin\theta)]}.$$
The key point is the fact that, for a given $z=re^{i\theta}=r(cos\theta+i\sin\theta)$, we have that
$$|e^z|=|e^{r(cos\theta+i\sin\theta)}|=|e^{r\cos\theta}||e^{ir\sin\theta}|=e^{r\cos\theta}=e^{Re(z)}.$$
@javicemarpe: Sorry, I'm wrong! My mistake is here:
In realtà è: [size=140]$e^(e^x*(e^(iy)+e^(-iy)))=e^(e^x*2cosy)" "$[/size], per cui: [size=140]$|e^(e^z)|=e^(e^xcosy)$[/size].
"Palliit":.
[size=140]$...=e^(e^x*(e^(iy)+e^(-iy)))=e^(e^x*0)=...$[/size]
In realtà è: [size=140]$e^(e^x*(e^(iy)+e^(-iy)))=e^(e^x*2cosy)" "$[/size], per cui: [size=140]$|e^(e^z)|=e^(e^xcosy)$[/size].
You made a mistake in the first equality as well.
I can't see this one...
You said that $$|e^{e^z}|^2=e^{e^z}e^{e^\overline{z}},$$ but this is not correct. What is correct is that
$$|e^{e^z}|^2=e^{e^z}\overline{e^{e^z}}.$$
$$|e^{e^z}|^2=e^{e^z}\overline{e^{e^z}}.$$
Il mio inglese non è così fluente, spero non ti dispiaccia se scrivo in italiano.
Direi che: [size=130]$" "bar(e^z)=e^(bar(z))$[/size]$" " forall zinCC$,
e che la mia conclusione:
di fatto coincida con la tua:
(dove tra l'altro l'operatore $Re$ ad esponente non è necessario, trattandosi si quantità reale) ammettendo l'ovvia identificazione: $Re[z]=x=rcos theta" "$ e $" "Im[z]=y=rsin theta$,
Mi sbaglio?
Direi che: [size=130]$" "bar(e^z)=e^(bar(z))$[/size]$" " forall zinCC$,
e che la mia conclusione:
"Palliit":
[size=140]$ |e^(e^z)|=e^(e^xcosy) $[/size]
di fatto coincida con la tua:
"javicemarpe":
[size=130]\[ |e^{e^z}|=...=e^{Re[e^{r\cos\theta}\cos(r\sin\theta)]} \][/size]
(dove tra l'altro l'operatore $Re$ ad esponente non è necessario, trattandosi si quantità reale) ammettendo l'ovvia identificazione: $Re[z]=x=rcos theta" "$ e $" "Im[z]=y=rsin theta$,
Mi sbaglio?
That's true, it is $\overline{e^z}=e^{\overline{z}}$ for all complex $z$. I never used it so I didn't know it. Thank you.
Also, I forgot to remove the "$\text{Re}$". Thanks for the observation =)
Also, I forgot to remove the "$\text{Re}$". Thanks for the observation =)
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