Misurabilità rispetto alla sigma algebra coda
Buonasera, è la mia prima domanda quindi sono un po' emozionato! Volevo chiedere un aiuto su una dimostrazione. Sto studiando il teorema di esistenza di Kolmogorov e conseguenze tipo la legge 0-1 di Kolmogorov. Tra le conseguenze della 0-1 trovo che le variabili aleatorie misurabili rispetto alla sigma algebra coda sono costanti. Ora voglio provare che una certa classe di esse è in effetti misurabile rispetto alla sigma algebra coda. In maniera più comprensibile:
Teorema:
Sia $(X_n)_{n \ge 1}$ una successione di variabili aleatorie reali definite su $(\Omega, \mathcal{A})$. Allora $$\underset{n \to \infty}{\text{limsup}} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k = \underset{n \to \infty}{\text{limsup}}S_n $$ è misurabile rispetto alla sigma algebra $$ \mathcal{T} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma(X_n, X_{n+1}, ...)$$
Dimostrazione:
$$\underset{n \to \infty}{\text{limsup}} S_n = \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty}S_n$$
Poiché $S_n$ è data da una mappa continua (dunque misurabile) delle prime $n$ $X_k$ allora essa è misurabile rispetto a $\sigma(X_1, ... X_n)$. Dunque $bigcup_{n=m}^{\infty}S_n$ è misurabile rispetto a $\sigma(X_1, ...)$ ma da qua non riesco a proseguire, vorrei ottenere infatti che $bigcup_{n=m}^{\infty}S_n$ è misurabile rispetto a $\sigma(X_n, ...)$
EDIT: Tutto molto sbagliato e molto brutto.
Teorema:
Sia $(X_n)_{n \ge 1}$ una successione di variabili aleatorie reali definite su $(\Omega, \mathcal{A})$. Allora $$\underset{n \to \infty}{\text{limsup}} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k = \underset{n \to \infty}{\text{limsup}}S_n $$ è misurabile rispetto alla sigma algebra $$ \mathcal{T} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma(X_n, X_{n+1}, ...)$$
Dimostrazione:
$$\underset{n \to \infty}{\text{limsup}} S_n = \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty}S_n$$
Poiché $S_n$ è data da una mappa continua (dunque misurabile) delle prime $n$ $X_k$ allora essa è misurabile rispetto a $\sigma(X_1, ... X_n)$. Dunque $bigcup_{n=m}^{\infty}S_n$ è misurabile rispetto a $\sigma(X_1, ...)$ ma da qua non riesco a proseguire, vorrei ottenere infatti che $bigcup_{n=m}^{\infty}S_n$ è misurabile rispetto a $\sigma(X_n, ...)$
EDIT: Tutto molto sbagliato e molto brutto.
Risposte
Credo di aver risolto così:
Sia $p \ge 1$ arbitrario e fissato;
$$\underset{n \to \infty}{\text{limsup }} S_n = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} S_n = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} \bigl ( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{p-1}X_k + \frac{1}{n} \sum_{k=p}^{n}X_k \bigr ) = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} \frac{1}{n} \sum_{k=p}^{n}X_k = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} Y_{n,p} $$
Ora $Y_{n,p}$ è la composizione di una funzione misurabile rispetto a $\mathcal{B}(\mathbb(R)^{n-p+1})-\mathcal{B}(\mathbb(R))$ e $n-p+1$ v.a. e dunque tutte misurabili rispetto a $\sigma(X_p, X_{p+1}, ...)$, dunque $Y_{n,p}$ è $\sigma(X_p, X_{p+1}, ...)-\mathcal{B}(\mathbb(R))$ misurabile.
Inoltre data una successione di v.a. $(Y_n)_{n \ge 1}$ tutte $\mathcal{F}$-misurabili anche $\underset{n \to \infty}{\text{limsup }}Y_n$ è $\mathcal{F}$-misurabile.
Dunque vale che $\underset{n \to \infty}{\text{limsup }} S_n = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} Y_{n,p}$ è $\sigma(X_p, X_{p+1}, ...)$-misurabile.
Per l'arbitrarietà di $p$, $\underset{n \to \infty}{\text{limsup }} S_n$ è $\sigma(X_p, X_{p+1}, ...)$-misurabile per ogni $p \ge 1$, da cui la tesi.
Sia $p \ge 1$ arbitrario e fissato;
$$\underset{n \to \infty}{\text{limsup }} S_n = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} S_n = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} \bigl ( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{p-1}X_k + \frac{1}{n} \sum_{k=p}^{n}X_k \bigr ) = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} \frac{1}{n} \sum_{k=p}^{n}X_k = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} Y_{n,p} $$
Ora $Y_{n,p}$ è la composizione di una funzione misurabile rispetto a $\mathcal{B}(\mathbb(R)^{n-p+1})-\mathcal{B}(\mathbb(R))$ e $n-p+1$ v.a. e dunque tutte misurabili rispetto a $\sigma(X_p, X_{p+1}, ...)$, dunque $Y_{n,p}$ è $\sigma(X_p, X_{p+1}, ...)-\mathcal{B}(\mathbb(R))$ misurabile.
Inoltre data una successione di v.a. $(Y_n)_{n \ge 1}$ tutte $\mathcal{F}$-misurabili anche $\underset{n \to \infty}{\text{limsup }}Y_n$ è $\mathcal{F}$-misurabile.
Dunque vale che $\underset{n \to \infty}{\text{limsup }} S_n = \underset{n \to \infty, n \ge p}{\text{limsup }} Y_{n,p}$ è $\sigma(X_p, X_{p+1}, ...)$-misurabile.
Per l'arbitrarietà di $p$, $\underset{n \to \infty}{\text{limsup }} S_n$ è $\sigma(X_p, X_{p+1}, ...)$-misurabile per ogni $p \ge 1$, da cui la tesi.
[xdom="tommik"]sposto da Statistica e Probabilità perché lì vedo bassa probabilità di risposta benché l'argomento sia pertinente[/xdom]
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