Misurabilità insieme di convergenza puntuale

[Ernesto011]

Ho trovato questo esercizio e sto sbattendo la testa ovunque senza risultati

Dati $(Omega,A)$ uno spazio di misura, $g_n:Omega->RR$ una successione di funzioni misurabili, dimostrare che l'insieme
$F={x in Omega : lim_(n->oo)g_n(x)=l in RR }$ è misurabile

[glooo1]

Forse potrebbe aiutare vedere $F$ come l'insieme degli $x\in Omega$ per cui la successione $(g_n(x))$ è di Cauchy

[Seneca1]

Basta osservare che:
\[ \left \{ x \in \Omega : \forall m \ge 1 , \exists k \in \mathbb{N} : \forall n > k \text{ risulta } |g_n(x) - l | < \frac{1}{m} \right \} \]
\[ = \bigcap_{m \ge 1} \left \{ x \in \Omega : \exists k \in \mathbb{N}: \forall n > k \text{ risulta } |g_n(x) - l | < \frac{1}{m} \right \} \]
\[ = \bigcap_{m \ge 1} \bigcup_{k \ge 0} \left \{ x \in \Omega : \forall n > k \text{ risulta } |g_n(x) - l | < \frac{1}{m} \right \} \]
\[ = \bigcap_{m \ge 1} \bigcup_{k \ge 0} \bigcap_{n \ge k} \left \{ x \in \Omega : |g_n(x) - l | < \frac{1}{m} \right \} \]

[Ernesto011]

Avevo anche pensato di vederli come successione di cauchy, ma da qui a vedere quell'insieme come l'intersezione di unione di intersezione ce ne passa.
Grazie, tutto chiaro!