Misurabilità di una restrizione

[anto_zoolander]

Ciao!

ho trovato il seguente esercizio, ovviamente senza soluzione:

siano $(X,Sigma)$ e $(Y,F)$ due spazi misurabili($F,Sigma$ $sigma-$algebre non banali) e sia $f:X->Y$ una funzione misurabile.

se $AsubseteqX$ allora $g:=f_(|A)$ è misurabile sulla $sigma-$algerbra $Sigma'$ indotta da $Sigma$ su $A$

per intenderci $Sigma':={AcapM : M in Sigma}$ e l'ho svolto così

sia $M in F$: per misurabilità di $f$ avremo $f^(leftarrow)(M) in Sigma => Acapf^(leftarrow)(M) in Sigma'$

mostriamo che $g^(leftarrow)(M)=Acapf^(leftarrow)(M)$

1) se $x in g^(leftarrow)(M) => x in A wedge g(x) in M$ essendo $x in A$ si ha $f(x)=g(x)$ quindi $f(x) in M => x in f^(leftarrow)(M)$


2) se $x in Acapf^(leftarrow)(M) => x in A wedge x in f^(leftarrow)(M) => x in A wedge f(x) in M$ e anche quì poiché

$f(x)=g(x)$ per $x in A$ si avrà $x in Awedge g(x) in M => x in g^(leftarrow)(M)$

lo posto solo perché mi pare troppo facile come risoluzione

[otta96]

Va bene, osserva che la cosa che hai dimostrato è una cosa puramente insiemistica e non dipende in alcun modo dalla misurabilità.

[anto_zoolander]

Si infatti, molte cose riguardanti la teoria della misura fanno uso di proprietà strettamente insiemistiche. Beautiful

thanks