Misurabilità di una funzione integrabile secondo Lebesgue
Ciao a tutti,
sto ragionando da un po' su un passaggio riportato in maniera un po' discorsiva sulle mie dispense, ma che non riesco a "vedere con rigore". La dispensa dice:
"Se \(\displaystyle g \) è una funzione positiva integrabile secondo Lebesgue, per definizione questo significa che ogni N-troncata è integrabile secondo Lebesgue e quindi misurabile. Ne segue che anche \(\displaystyle g \) è misurabile."
Ora, "a occhio" posso anche trovarmi d'accordo, ma vorrei capire meglio. Per come la sto ragionando, posso vedere le N-troncate come una successione che converge puntualmente a \(\displaystyle g \); inoltre, essendo ciascuna di queste N-troncate misurabile, ognuna di esse sarà a sua volta limite puntuale di funzioni semplici. Date queste due ipotesi, posso definire una successione di funzioni semplici di cui \(\displaystyle g \) è limite puntuale, dimostrando così la sua misurabilità?
Sperando di essermi spiegato bene, vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
sto ragionando da un po' su un passaggio riportato in maniera un po' discorsiva sulle mie dispense, ma che non riesco a "vedere con rigore". La dispensa dice:
"Se \(\displaystyle g \) è una funzione positiva integrabile secondo Lebesgue, per definizione questo significa che ogni N-troncata è integrabile secondo Lebesgue e quindi misurabile. Ne segue che anche \(\displaystyle g \) è misurabile."
Ora, "a occhio" posso anche trovarmi d'accordo, ma vorrei capire meglio. Per come la sto ragionando, posso vedere le N-troncate come una successione che converge puntualmente a \(\displaystyle g \); inoltre, essendo ciascuna di queste N-troncate misurabile, ognuna di esse sarà a sua volta limite puntuale di funzioni semplici. Date queste due ipotesi, posso definire una successione di funzioni semplici di cui \(\displaystyle g \) è limite puntuale, dimostrando così la sua misurabilità?
Sperando di essermi spiegato bene, vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Non c'entrano nulla le troncature.
Una funzione integrabile è necessariamente misurabile, per definizione... Almeno con le definizioni più standard di "funzione integrabile".
Quindi il problema potrebbe essere: qual è la definizione di funzione integrabile che usi?
Una funzione integrabile è necessariamente misurabile, per definizione... Almeno con le definizioni più standard di "funzione integrabile".
Quindi il problema potrebbe essere: qual è la definizione di funzione integrabile che usi?
Una funzione integrabile è limitata superiormente, quindi se la valuti su una certa filtrazione (sia essa lo spazio di definizione o una sua $\sigma$-algebra) sarà necessariamente misurabile su $\Omega$ o su ${\cdot}_(\Omega)$.
"gugo82":
Non c'entrano nulla le troncature.
Una funzione integrabile è necessariamente misurabile, per definizione... Almeno con le definizioni più standard di "funzione integrabile".
Quindi il problema potrebbe essere: qual è la definizione di funzione integrabile che usi?
Allora, per definire l'integrale di Lebesgue nello spazio metrico \(\displaystyle (X, \mathcal{M}, \mu) \) nelle mie dispense si parte innanzitutto dall'integrale di funzioni semplici definite su domini di misura finita: sia \(\displaystyle \varphi (x) = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\chi_{E_{i}}\) una funzione semplice definita su una partizione del dominio \(\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} E_{i} \) (dove al più si pone la funzione uguale a zero sul resto di \(\displaystyle X \) se gli \(\displaystyle E_{i} \) non lo ricoprono interamente). Allora l'integrale di Lebesgue è dato da:
\(\displaystyle \int_{X}\varphi (x) d\mu = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\mu(E_{i}) \)
Da qui si passa a definire l'integrale di una generica funzione limitata \(\displaystyle f \) nel seguente modo: sia \(\displaystyle S \) l'insieme delle funzioni semplici definite su \(\displaystyle X \). Si definiscono integrale superiore ed inferiore di \(\displaystyle f \) le quantità:
\(\displaystyle \int_{X}^{+} f(x) d\mu = \text{inf} \left \{ \int_{X} \varphi(x) d\mu: \varphi \in S, \varphi \geq f \right \} \),
e
\(\displaystyle \int_{X}^{-} f(x) d\mu = \text{sup} \left \{ \int_{X} \varphi(x) d\mu: \varphi \in S, \varphi \leq f \right \} \).
Se queste due quantità sono uguali si definisce pari a tale quantità l'integrale di Lebesgue di \(\displaystyle f \).
Infine, per definire l'integrale di una generica funzione \(\displaystyle f \) si utilizza la scomposizione in parte positiva e negativa (\(\displaystyle f = f^{+} - f^{-} \)), sfruttando il fatto che siano entrambe positive per definizione. Ci si serve prima di un'ulteriore definizione di integrale di Lebesgue di funzioni positive, data tramite le N-troncate \(\displaystyle f_{N} \):
\(\displaystyle \int_{X} f^{+ \text{/} -}(x) d\mu = \text{sup} \left \{ \int_{Y} f_{N}^{+ \text{/} -}(x) d\mu: N \in \mathbb{N} \text{, } Y\subset X \text{, } Y \in \mathcal{M} \text{, } \mu(Y) < +\infty \right \} \)
e definendo dunque l'integrale di \(\displaystyle f \) come la differenza dei due integrali nel caso almeno uno dei due non sia infinito (così da evitare l'indefinitezza di un \(\displaystyle + \infty - \infty \), caso in cui l'integrale non è definito).
Spero di essere stato chiaro ed esaustivo, mi scuso nell'eventualità abbia tralasciato cose importanti nel riassumere l'iter seguito nella dispensa: le sto studiando da poco e questo è quello che ho recepito essere il nocciolo della questione.
@ mvalenti: Allora sì, una funzione integrabile $g$ è misurabile poiché è somma di funzioni $g^pm$ che sono limite puntuale di funzioni $g_n^pm$ (troncature di $g^pm$ a livello $n$) misurabili.
Ok, allora ti ringrazio! 
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