Misura di Lebesgue
Salve a tutti,
nel caso in cui si parla di misurabilità di un insieme non limitato,allora,considerato $ E sub RR^(n) $ , interseco E con $ [-k,k]^(n) $ con intervalli di centro l'origine di $ RR^(n)$ e ottengo un insieme limitato. allora si pone $ |E|=Sup|E nnn [-k,k]^(n) $ .
Quello che non è chiaro:se ottengo un insieme limitato,allora perchè la misura di E può anche essere $ +infty $ ?
nel caso in cui si parla di misurabilità di un insieme non limitato,allora,considerato $ E sub RR^(n) $ , interseco E con $ [-k,k]^(n) $ con intervalli di centro l'origine di $ RR^(n)$ e ottengo un insieme limitato. allora si pone $ |E|=Sup|E nnn [-k,k]^(n) $ .
Quello che non è chiaro:se ottengo un insieme limitato,allora perchè la misura di E può anche essere $ +infty $ ?
Risposte
La ragione per cui la misura può non essere finita (che quindi associa l'intuizione di misura infinita a insiemi non limitati) è dovuta alla presenza del $\text{sup}$.
Infatti puoi anche facilmente verificare che, dato $Q_k = [-k,k]^n$
$$|E|= \sup_k |E\cap Q_k| = \lim_{k\to\infty}|E\cap Q_k| $$
Puoi prendere, come esempio, l'insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi (giusto per non considerare sottoinsiemi banali).
Infatti puoi anche facilmente verificare che, dato $Q_k = [-k,k]^n$
$$|E|= \sup_k |E\cap Q_k| = \lim_{k\to\infty}|E\cap Q_k| $$
Puoi prendere, come esempio, l'insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi (giusto per non considerare sottoinsiemi banali).
"Zurzaza":
Puoi prendere, come esempio, l'insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi (giusto per non considerare sottoinsiemi banali).
Per fare che? $ZZ$ ha misura nulla... Piuttosto prendi come esempio $RR^n$ (anche se può sembrare banale), e applica la definizione, ti fa capire nella pratica il perché la misura di un insieme può essere infinita, che poi è quello che giustamente ha detto Zurzaza.
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