[Metodi matematici]

[Quinzio]

3.
Partiamo dalla definizione di
$ cc "U"(z) = \sum_{n=0}^{oo} x[n] z^[-n]$

e calcoliamo

$ cc "V"(z) = z^{-1}cc "U"(z/2) = z^{-1}\sum_{n=0}^{oo} x[n] (z/2)^[-n] = \sum_{n=0}^{oo} 2^n\ x[n]\ z^{-n-1} $.

Abbiamo trovato che
$ cc "V"(z) = \sum_{n=0}^{oo} 2^n\ x[n]\ z^{-n-1} $

e adesso dobbiamo riportarci alla forma canonica per trovare $V(3)$.
Allora se $k = n+1$

$ cc "V"(z) = \sum_{k=1}^{oo} 2^{k-1}\ x[k-1]\ z^{-k} $.

Per cui $V(3)$ sara' il coefficiente di $z^{-3}$, quindi guardiamo quant'e' il coefficiente quando $k=3$
ovvero $2^2x[2] = 4 *(7-5*2) = -12$

[pilloeffe]

Ciao RobBobMob,

Benvenuta sul forum!

"RobBobMob":A2 calcolo dei residui? Ma (5-3n)???

No, direi derivata della formula integrale di Cauchy:

$g^((n))(z_0) = (n!)/(2\pi i) \oint_\gamma g(z)/(z - z_0)^{n + 1}\text{d}z $

Ma non riesco a leggere cosa c'è scritto a pedice dell'integrale nell'immagine che hai riportato...
Per quanto riguarda $f(z) $ si ha:

$f(z) := \sum_{n = 0}^{+\infty} (5 - 3n)(z - 3)^{-n} = ((z - 3)(5z - 23))/(z - 4)^2 \qquad \text{ per } 1/|z - 3| < 1 $