Media temporale di funzione di auto-correlazione periodica
Ciao ragazzi volevo chiedervi un aiuto nel calcolo di un integrale. Ho una funzione $x(t)$, periodica di periodo $T$. Devo calcolare la media temporale della funzione di auto correlazione (anche essa periodica ovviamente)
$1/T\int_{-T/2}^{T/2} x(t+s)x(t) dt$
Presumo che il risultato sia $x(s)x(0)$. Non riesco a provare questo fatto in modo semplice. Usando il teorema della media integrale so solo che il risultato dell'integrale varrà $x(s+c)x(c)$ per un certo $c in [-T/2, T/2]$ e non mi viene in mente se e come poter dimostrare $c=0$. Un altro metodo potrebbe essere quello di espandere in serie di Fourier $x(t)$ e verificare il risultato per i vari seni/coseni il che dovrebbe essere immediato. Tuttavia questa ultima via è troppo macchinosa...mi aiutate a verificare il risultato (ammesso che sia giusto) in modo elementare?
Grazie
$1/T\int_{-T/2}^{T/2} x(t+s)x(t) dt$
Presumo che il risultato sia $x(s)x(0)$. Non riesco a provare questo fatto in modo semplice. Usando il teorema della media integrale so solo che il risultato dell'integrale varrà $x(s+c)x(c)$ per un certo $c in [-T/2, T/2]$ e non mi viene in mente se e come poter dimostrare $c=0$. Un altro metodo potrebbe essere quello di espandere in serie di Fourier $x(t)$ e verificare il risultato per i vari seni/coseni il che dovrebbe essere immediato. Tuttavia questa ultima via è troppo macchinosa...mi aiutate a verificare il risultato (ammesso che sia giusto) in modo elementare?
Grazie
Risposte
Secondo me se sviluppi in serie di Fourier con gli esponenziali complessi è molto più semplice.
"dissonance":
Secondo me se sviluppi in serie di Fourier con gli esponenziali complessi è molto più semplice.
Intanto grazie della risposta! Si sicuramente è più semplice ma non volevo procedere per questa via. Volevo usare metodi elementari, di analisi 1 per intenderci se possibile
Mmmm mi sa che la tesi è sbagliata 
Ho provato a usare come funzione di test la parabola periodica (di periodo $2\pi$): $f(t)=t^2$ per $-\pi<=t<=\pi$ e prolungata in modo periodico. Vale $f(0)f(s)=0$ qualunque sia $s$ ma:
$1/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi} f(t)f(t+s) dt =1/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi-s} t^2(t+s)^2 dt + 1/(2\pi)\int_{\pi-s}^{\pi} t^2(t+s-\pi)^2 dt !=0 $
Per cui nada, era sbagliata la tesi. Per inciso ho espanso velocemente in serie di Fourier e mi sembra che lo sviluppo in serie dell'integrale in funzione di $s$ abbia come coefficienti il modulo quadro dei coefficienti originari, ma non ci metterei la mano sul fuoco.
Grazie comunque
Ho provato a usare come funzione di test la parabola periodica (di periodo $2\pi$): $f(t)=t^2$ per $-\pi<=t<=\pi$ e prolungata in modo periodico. Vale $f(0)f(s)=0$ qualunque sia $s$ ma:$1/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi} f(t)f(t+s) dt =1/(2\pi)\int_{-\pi}^{\pi-s} t^2(t+s)^2 dt + 1/(2\pi)\int_{\pi-s}^{\pi} t^2(t+s-\pi)^2 dt !=0 $
Per cui nada, era sbagliata la tesi. Per inciso ho espanso velocemente in serie di Fourier e mi sembra che lo sviluppo in serie dell'integrale in funzione di $s$ abbia come coefficienti il modulo quadro dei coefficienti originari, ma non ci metterei la mano sul fuoco.
Grazie comunque
Sono d'accordo sull'ultima cosa che dici. In formule, se \(g(s)=\int_{-\pi}^\pi f(t)f(t+s)\, dt\) allora
\[
g(s)=\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ins}|\hat{f}(k)|^2,\]
dove \(\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-i k t}\, dt\).
\[
g(s)=\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ins}|\hat{f}(k)|^2,\]
dove \(\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-i k t}\, dt\).
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