\( \lVert u\rVert = \sup_{\lVert z\rVert = 1}\lVert u(z)\rVert \)
\( \newcommand{\abs}[1]{\lVert{#1}\rVert} \)Ciao! Siano \( E \) ed \( F \) spazi normati, e sia \( u\colon E\to F \) un operatore continuo. Sia \( \abs u \) l'estremo inferiore degli \( a > 0 \) tali che per ogni \( x \) di \( E \) si abbia \( \abs{u(x)}\leqq a\abs x \).
Chiaramente, se \( a \) è un numero reale positivo maggiore di \( \abs u \), si ha \( \abs{u(x)}\leqq a \) per ogni \( x\in E \) tale che \( \abs x\leqq 1 \) (perché \( \abs u \) è l'\( {\inf} \) delle quantità descritte sopra; pertanto se \( \abs u < a \) c'è un qualche \( b < a \) tale che \( \abs{u(x)}\leqq b\abs x \) per tutti gli \( x \) di \( E \), e quindi anche per quelli della palla unitaria).
Ora (prima che il libro vada in canale
): perché da questo dovrebbe seguire che \( \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)}\leqq \abs u \)?
(Ho in mente di usare questo thread per fare un po' di domandine sulla dimostrazione del fatto del titolo, se ne avrò ancora bisogno domani).
Chiaramente, se \( a \) è un numero reale positivo maggiore di \( \abs u \), si ha \( \abs{u(x)}\leqq a \) per ogni \( x\in E \) tale che \( \abs x\leqq 1 \) (perché \( \abs u \) è l'\( {\inf} \) delle quantità descritte sopra; pertanto se \( \abs u < a \) c'è un qualche \( b < a \) tale che \( \abs{u(x)}\leqq b\abs x \) per tutti gli \( x \) di \( E \), e quindi anche per quelli della palla unitaria).
Ora (prima che il libro vada in canale
): perché da questo dovrebbe seguire che \( \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)}\leqq \abs u \)?(Ho in mente di usare questo thread per fare un po' di domandine sulla dimostrazione del fatto del titolo, se ne avrò ancora bisogno domani).
Risposte
Perchè il sup è il MINIMO dei maggioranti.
Come mostri che \( \lVert u\rVert \) è un maggiorante degli \( \lVert u(x)\rVert \)?
Ma scusa come l'hai definita la norma di un operatore?
\( \newcommand{abs}[1]{\lVert#1\rVert} \)Come l'inf degli \( a>0 \) tali che \( \abs{u(x)}\leqq a\abs x \). Ho pensato di mostrare che \( \abs{u(x)}\leqq\abs u\abs x \) per ogni \( x\in E \) (da dove riuscirei dunque a derivare che \( \abs{u(x)}\leqq\abs u\) se \( \abs x\leqq 1 \)), ma allora \( \abs u \) sarebbe il minimo di quelle quantità, e non so se tale minimo esista sempre.
Cosa sono quegli $a$ rispetto all'insieme $U={||u(x)||/||x|| |x\in E\setminus{0}}$. E quindi cosè l'inf di quegli $a$, in termini di $U$? C'è qualcosa che ti garantisce che sia un minimo?
\( \newcommand{\abs}[1]{\lVert{#1}\rVert} \)Forse volevi scrivere \( U = \left\{a : \text{$\frac{\abs{u(x)}}{\abs x}\leqq a$ per ogni $ x\in E $, $ x\neq 0 $} \right\} \). Comunque, \( \abs u \) è banalmente un minorante di quell'insieme, e se \( \abs u < b \) per qualche numero reale \( b \), allora esiste un \( a < b \) per cui \( \abs{u(x)}\leqq a \abs x \) per ogni \( x\in E \), e in definitiva \( \frac{\abs{u(x)}}{\abs x}\leqq a \); quindi \( \abs u = \inf U \).
Sull'internet usano un argomento con le successioni per dimostrare che il sup di "\( U \)" (come l'hai definito nel tuo post) è esattamente la norma di \( u \). Il bello è che intuitivamente la situazione mi è chiara, ma lo stesso alla fine non sono buono a non farmi confusione ahah
"otta96":boh.
C'è qualcosa che ti garantisce che sia un minimo?
Sull'internet usano un argomento con le successioni per dimostrare che il sup di "\( U \)" (come l'hai definito nel tuo post) è esattamente la norma di \( u \). Il bello è che intuitivamente la situazione mi è chiara, ma lo stesso alla fine non sono buono a non farmi confusione ahah
Volevo scrivere quello che ho scritto.
\( \newcommand{\abs}[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert} \)Sia \( u\colon E\to F \) continuo. Sia \( s := \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)} \), e facciamo che \( \abs u < s \). Allora, per quanto detto nel mio primo post, è
\[
\abs{u(x)}< s
\] per ogni \( x\in E \) tale che \( \abs x\leqq 1 \). Ora, se \( E \) ha almeno un elemento, preso \( x\in E \) è
\[
\abs{u\left(\frac{x}{\abs x}\right)} = \frac{1}{\abs x}\abs{u(x)} < s
\] e quindi dev'essere anche \( s\leqq \abs u \), perché \( \abs u \) è per definizione l'estremo inferiore delle quantità \( a>0 \) tali che \( \abs{u(x)}\leqq a\abs x \) per ogni \( x\in E \). Questo è assurdo, quindi è \( s\leqq\abs u \). \( \square \)
Sarà la quarta volta che riscrivo questa dimostrazione. Spero di non aver messo di nuovo giù cavolate!
Un'altra versione:
\[
\abs{u(x)}< s
\] per ogni \( x\in E \) tale che \( \abs x\leqq 1 \). Ora, se \( E \) ha almeno un elemento, preso \( x\in E \) è
\[
\abs{u\left(\frac{x}{\abs x}\right)} = \frac{1}{\abs x}\abs{u(x)} < s
\] e quindi dev'essere anche \( s\leqq \abs u \), perché \( \abs u \) è per definizione l'estremo inferiore delle quantità \( a>0 \) tali che \( \abs{u(x)}\leqq a\abs x \) per ogni \( x\in E \). Questo è assurdo, quindi è \( s\leqq\abs u \). \( \square \)
Sarà la quarta volta che riscrivo questa dimostrazione. Spero di non aver messo di nuovo giù cavolate!
Un'altra versione:
È ok, comunque quello che intendevo io è che quegli $a$ erano maggioranti di $U$, quindi fare il minimo degli $a$ è come fare il sup di $U$, che esiste per la completezza di $RR$, e se esiste il minimo di un insieme, chiaramente è anche l'inf.
\( \newcommand{\abs}[1]{\left\lVert{#1}\right\rVert} \)Ah beh certo, hai ragione.
Riporto quello che mancava per dimostrare l'equivalenza delle due definizioni. Evidentemente, se \( \abs u = 0 \) la cosa vale per quanto appena detto. Sia \( \abs u > 0 \); osserviamo che per ogni \( b \) tale che \( 0 < b < \abs u \), dovrà essere
\[
b < \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)}\text{.}
\] Questo perché, se \( b\leqq \abs u \), esiste un \( x\in E \) per cui \( \abs{u(x)} > b\abs x \); allora è anche \( \abs{u(z)} > b \) per \( z := \frac{x}{\abs x} \), in quanto
\[
\abs{u(z)} = \frac{1}{\abs x}\abs{u(x)} > \frac{1}{\abs x} b \abs x = b\text{.}
\] Vediamo che \( b \) non è un maggiorante degli \( \abs{u(x)} \) al variare di \( x\in E \) nel disco (chiuso) unitario, e si ha
\[
b < \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)}\text{.}
\]
Se fosse \( \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)} < \abs u \), avremmo un assurdo. \( \square \)
Per quanto riguarda la \( \abs u = \sup_{\abs x = 1}\abs{u(x)} \), mi pare che togliendo tutte le occorrenze di "\( {\leqq} \)" nella dimostrazione appena fatta la cosa fili ancora.
Ah grazie comunque!
Riporto quello che mancava per dimostrare l'equivalenza delle due definizioni. Evidentemente, se \( \abs u = 0 \) la cosa vale per quanto appena detto. Sia \( \abs u > 0 \); osserviamo che per ogni \( b \) tale che \( 0 < b < \abs u \), dovrà essere
\[
b < \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)}\text{.}
\] Questo perché, se \( b\leqq \abs u \), esiste un \( x\in E \) per cui \( \abs{u(x)} > b\abs x \); allora è anche \( \abs{u(z)} > b \) per \( z := \frac{x}{\abs x} \), in quanto
\[
\abs{u(z)} = \frac{1}{\abs x}\abs{u(x)} > \frac{1}{\abs x} b \abs x = b\text{.}
\] Vediamo che \( b \) non è un maggiorante degli \( \abs{u(x)} \) al variare di \( x\in E \) nel disco (chiuso) unitario, e si ha
\[
b < \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)}\text{.}
\]
Se fosse \( \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)} < \abs u \), avremmo un assurdo. \( \square \)
Per quanto riguarda la \( \abs u = \sup_{\abs x = 1}\abs{u(x)} \), mi pare che togliendo tutte le occorrenze di "\( {\leqq} \)" nella dimostrazione appena fatta la cosa fili ancora.
Ah grazie comunque!
"marco2132k":
se $ b\leq ||u|| $, esiste un $ x\in E $ per cui $ ||u(x)|| > b||x|| $
Sicuro?
\( \newcommand{\abs}[1]{\lVert{#1}\rVert} \)Typo (?). Se \( b < \abs u \), e per ogni \( x\in E \) avessimo \( \abs{u(x)}\leqq b\abs x \), sarebbe anche \( \abs u\leqq b \).
In ogni caso alla fine voglio supporre \( \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)} < \abs u \) e far vedere che si arriva ad un assurdo; quindi in fin dei conti è proprio necessario dimostrare la cosa sopra per \( b \) strettamente minore di \( \abs u\).
In ogni caso alla fine voglio supporre \( \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{u(x)} < \abs u \) e far vedere che si arriva ad un assurdo; quindi in fin dei conti è proprio necessario dimostrare la cosa sopra per \( b \) strettamente minore di \( \abs u\).
Ora ve bene.
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