L'insieme delle metriche su $X$ è uno spazio convesso
Sia $X$ un insieme; l'insieme \(M(X) = \{d : X\times X\to [0,\infty]\}\) delle metriche su $X$ è un sottoinsieme convesso dello spazio vettoriale delle funzioni \(X\times X\to \mathbb R\).
Sia $M$ una varietà liscia; l'insieme delle metriche riemanniane su $M$ è un sottoinsieme convesso dello spazio \(\mathcal{T}^0_2(M)\) dei tensori di tipo \((0,2)\) su $M$.
Per cosa si usano questi fatti nella vita reale? Riferimenti a un teorema che vale in forza di questi fatti?
Sia $M$ una varietà liscia; l'insieme delle metriche riemanniane su $M$ è un sottoinsieme convesso dello spazio \(\mathcal{T}^0_2(M)\) dei tensori di tipo \((0,2)\) su $M$.
Per cosa si usano questi fatti nella vita reale? Riferimenti a un teorema che vale in forza di questi fatti?
Risposte
E' solo una sensazione. Ma credo che per dimostrare che su ogni varietà liscia (differenziabile) esiste almeno una metrica Riemanniana si usi esattamente la seconda proprietà. Non ho mai studiato la dimostrazione di questo teorema, ma una ricerca mi ha portato su questa pagina:
https://math.stackexchange.com/question ... ian-metric
Uno dei primi commenti sembra asserire esattamente quanto detto sopra.
https://math.stackexchange.com/question ... ian-metric
Uno dei primi commenti sembra asserire esattamente quanto detto sopra.
Mmmh. Ok.
Al momento mi interessa una qualsiasi risposta alla domanda "ok, è un spazio convesso, e quindi?" perché so dire cosa significa essere una metrica in un altro linguaggio, ma non ho idea di come esprimere la convessità.
Al momento mi interessa una qualsiasi risposta alla domanda "ok, è un spazio convesso, e quindi?" perché so dire cosa significa essere una metrica in un altro linguaggio, ma non ho idea di come esprimere la convessità.
Di solito il fatto che un insieme (soprattutto se un po' particolare) sia convesso è interessante se riesci a definirci una funzione convessa interessante.
Ma esattamente qual è la domanda? Mi vengono in mente cose ma non posso sapere se ti sono utili o no.
A parte quel teorema di esistenza del mio post precedente, un'altra nozione che mi viene in mente è quella di "cono convesso". https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_cone
Un cono convesso è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale reale che è chiuso rispetto a combinazioni lineari con coefficienti positivi. Un cono convesso è chiaramente un insieme convesso ma non tutti gli insiemi convessi sono coni convessi. Sia l'insieme delle metriche, sia l'insieme delle metriche Riemanniane sono coni convessi nei rispettivi spazi vettoriali dell'OP.
Questa definizione appare nel contesto della "programmazione semidefinita" (SDP - semidefinite programming). E' un ramo della matematica piuttosto di moda. Mi ci ero interessato un paio di anni fa, ma, ritornando a quanto dicevo all'inizio del post, non so quanto sia rilevante in questo contesto. In SDP si costruiscono algoritmi per ottimizzare funzioni di matrici positive definite, che difatti sono un cono convesso.
Una connessione con questo post è che le matrici positive definite di dimensione \(d\) sono esattamente i prodotti scalari definiti positivi su \(\mathbb R^d\). Non so se la SDP vale come risposta alla domanda dell'OP.
A parte quel teorema di esistenza del mio post precedente, un'altra nozione che mi viene in mente è quella di "cono convesso". https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_cone
Un cono convesso è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale reale che è chiuso rispetto a combinazioni lineari con coefficienti positivi. Un cono convesso è chiaramente un insieme convesso ma non tutti gli insiemi convessi sono coni convessi. Sia l'insieme delle metriche, sia l'insieme delle metriche Riemanniane sono coni convessi nei rispettivi spazi vettoriali dell'OP.
Questa definizione appare nel contesto della "programmazione semidefinita" (SDP - semidefinite programming). E' un ramo della matematica piuttosto di moda. Mi ci ero interessato un paio di anni fa, ma, ritornando a quanto dicevo all'inizio del post, non so quanto sia rilevante in questo contesto. In SDP si costruiscono algoritmi per ottimizzare funzioni di matrici positive definite, che difatti sono un cono convesso.
Una connessione con questo post è che le matrici positive definite di dimensione \(d\) sono esattamente i prodotti scalari definiti positivi su \(\mathbb R^d\). Non so se la SDP vale come risposta alla domanda dell'OP.
La domanda vera è questa:
Sia \(V\) un quantale; una \(V\)-relazione tra due insiemi \(X,Y\), scritta \(\mathfrak r : X \rightsquigarrow Y\), è una funzione \(X\times Y \to V\) che (ad esempio quando \(X=\{x_1,\dots,x_n\}, Y=\{y_1,\dots,y_m\}\) sono insiemi finiti) consiste di una matrice \(n\times m\) di elementi del quantale.
Le V-relazioni si possono comporre nel modo ovvio, facendo un "prodotto di matrici" (l'operazione di quantale di $V$ è associativa e "bilineare": un quantale è un join-semireticolo completo con una operazione di monoide \(*\) che ha la proprietà per cui \(x * \bigvee y_\alpha = \bigvee (x * y_\alpha)\) e \(\bigvee y_\alpha * x = \bigvee (y_\alpha * x)\)).
Se ora come caso particolare di $V$ prendiamo l'insieme \(Cost=([0,\infty],\ge,0,+)\) dei reali nonnegativi con l'ordine opposto, e l'operazione di quantale è la somma di reali, una endo-V-relazione \(d : X\times X\to V\) che sia riflessiva (cioè \(d(x,x)\le 0\)) e transitiva (cioè \(d(a,b)+d(b,c)\ge d(a,c)\) per ogni $a,b,c\in X$) è esattamente il dato di una metrica sull'insieme \(X\), a patto che "metrica" significhi che la distanza tra punti diversi può essere zero, che la distanza può assumere il valore \(+\infty\) e che la metrica non sia per forza simmetrica.
Questo è anche precisamente quello che serve a rendere $X$ l'insieme degli oggetti di una categoria arricchita su \(Cost\), o uno spazio metrico generalizzato di Lawvere, e tra le conseguenze di questa identificazione c'è ad esempio, ma non solo, il fatto che uno spazio metrico è Cauchy-completo se e solo se la categoria \(Cost\)-arricchita ad esso associata è Cauchy-completa.
In sostanza, la geometria metrica e la teoria delle categorie \(Cost\)-arricchite sono linguaggi equivalenti.
Alla luce di tutto ciò, l'insieme \(Met(X)\subset [0,\infty]^{X\times X}\) delle metriche che è possibile porre su un insieme \(X\) ammonta esattamente all'insieme \(Cat_V(X)\) dei modi in cui $X$ può essere reso una categoria \(Cost\)-arricchita, e questo insieme a sua volta ammonta esattamente all'insieme \(Mnd_V(X)\) di tutte le monadi con dominio $X$ che è possibile definire nella bicategoria delle V-relazioni (che ti ho definito solo in parte sopra, ma ti fiderai che esiste perché altrimenti questo messaggio diventa un wall of text).
Siccome come detto la geometria metrica e la teoria delle categorie \(Cost\)-arricchite sono linguaggi equivalenti, deve essere possibile tradurre ogni fatto vero a proposito dello spazio metrico \((X,d)\) in un fatto vero a proposito di una monade \(\mathfrak d : X\times X\to Cost\). E il fatto che l'insieme \(Met(X)\subset [0,\infty]^{X\times X}\) sia un sottospazio convesso è interessante, perché
- dice che \(Mnd_V(X)\) è un "sottospazio convesso" di \(V\text{-}Rel(X,X)\), qualsiasi cosa significhi;
- la proprietà di convessità guardata attraverso le monadi è "strana", perché quello che sta dicendo è qualcosa di questo tipo: ti ho dato un complesso simpliciale $D$ i cui vertici \(T_1,\dots,T_n\) sono monadi, e ora sei capace di definire una monade $T_b$ che è il "baricentro" di tutte loro e non ho mai visto niente del genere definito prima;
- non ho la minima idea di come usare questa proprietà cioè di come dire che, siccome \(Mnd_V(X)\) è convesso, allora bla bla bla.
Per farmi un'idea più precisa dell'elefante che sto toccando quindi ho posto la domanda: che cosa si può dedurre dal fatto che Met(X) è convesso?
Per ora non so dire molto: per esempio, se $X$ è un insieme finito uno può caratterizzare \(Met(X)\) come un polyhedral cone, e quindi ogni punto in \(Met(X)\) si scrive come una "combinazione lineare" positiva di raggi estremali; questo è il tipo di risultato che vorrei esprimere nel linguaggio delle $V$-monadi, passando da \(Met(X)\) a \(Mnd_V(X)\). Non so come.
Un'altra idea al momento molto mal posta prende le mosse dall'osservazione che gli insiemi convessi sono esattamente le algebre per la monade delle distribuzioni finite $D$. Quindi, il fatto che \(Met(X)\) sia uno spazio convesso si traduce nel fatto che \(Mnd_V(X)\) ha una struttura canonica di D-algebra.
La domanda senza gli spazi metrici perciò diventa:
Sia \(V\) un quantale; una \(V\)-relazione tra due insiemi \(X,Y\), scritta \(\mathfrak r : X \rightsquigarrow Y\), è una funzione \(X\times Y \to V\) che (ad esempio quando \(X=\{x_1,\dots,x_n\}, Y=\{y_1,\dots,y_m\}\) sono insiemi finiti) consiste di una matrice \(n\times m\) di elementi del quantale.
Le V-relazioni si possono comporre nel modo ovvio, facendo un "prodotto di matrici" (l'operazione di quantale di $V$ è associativa e "bilineare": un quantale è un join-semireticolo completo con una operazione di monoide \(*\) che ha la proprietà per cui \(x * \bigvee y_\alpha = \bigvee (x * y_\alpha)\) e \(\bigvee y_\alpha * x = \bigvee (y_\alpha * x)\)).
Se ora come caso particolare di $V$ prendiamo l'insieme \(Cost=([0,\infty],\ge,0,+)\) dei reali nonnegativi con l'ordine opposto, e l'operazione di quantale è la somma di reali, una endo-V-relazione \(d : X\times X\to V\) che sia riflessiva (cioè \(d(x,x)\le 0\)) e transitiva (cioè \(d(a,b)+d(b,c)\ge d(a,c)\) per ogni $a,b,c\in X$) è esattamente il dato di una metrica sull'insieme \(X\), a patto che "metrica" significhi che la distanza tra punti diversi può essere zero, che la distanza può assumere il valore \(+\infty\) e che la metrica non sia per forza simmetrica.
Questo è anche precisamente quello che serve a rendere $X$ l'insieme degli oggetti di una categoria arricchita su \(Cost\), o uno spazio metrico generalizzato di Lawvere, e tra le conseguenze di questa identificazione c'è ad esempio, ma non solo, il fatto che uno spazio metrico è Cauchy-completo se e solo se la categoria \(Cost\)-arricchita ad esso associata è Cauchy-completa.
In sostanza, la geometria metrica e la teoria delle categorie \(Cost\)-arricchite sono linguaggi equivalenti.
Alla luce di tutto ciò, l'insieme \(Met(X)\subset [0,\infty]^{X\times X}\) delle metriche che è possibile porre su un insieme \(X\) ammonta esattamente all'insieme \(Cat_V(X)\) dei modi in cui $X$ può essere reso una categoria \(Cost\)-arricchita, e questo insieme a sua volta ammonta esattamente all'insieme \(Mnd_V(X)\) di tutte le monadi con dominio $X$ che è possibile definire nella bicategoria delle V-relazioni (che ti ho definito solo in parte sopra, ma ti fiderai che esiste perché altrimenti questo messaggio diventa un wall of text).
Siccome come detto la geometria metrica e la teoria delle categorie \(Cost\)-arricchite sono linguaggi equivalenti, deve essere possibile tradurre ogni fatto vero a proposito dello spazio metrico \((X,d)\) in un fatto vero a proposito di una monade \(\mathfrak d : X\times X\to Cost\). E il fatto che l'insieme \(Met(X)\subset [0,\infty]^{X\times X}\) sia un sottospazio convesso è interessante, perché
- dice che \(Mnd_V(X)\) è un "sottospazio convesso" di \(V\text{-}Rel(X,X)\), qualsiasi cosa significhi;
- la proprietà di convessità guardata attraverso le monadi è "strana", perché quello che sta dicendo è qualcosa di questo tipo: ti ho dato un complesso simpliciale $D$ i cui vertici \(T_1,\dots,T_n\) sono monadi, e ora sei capace di definire una monade $T_b$ che è il "baricentro" di tutte loro e non ho mai visto niente del genere definito prima;
- non ho la minima idea di come usare questa proprietà cioè di come dire che, siccome \(Mnd_V(X)\) è convesso, allora bla bla bla.
Per farmi un'idea più precisa dell'elefante che sto toccando quindi ho posto la domanda: che cosa si può dedurre dal fatto che Met(X) è convesso?
Per ora non so dire molto: per esempio, se $X$ è un insieme finito uno può caratterizzare \(Met(X)\) come un polyhedral cone, e quindi ogni punto in \(Met(X)\) si scrive come una "combinazione lineare" positiva di raggi estremali; questo è il tipo di risultato che vorrei esprimere nel linguaggio delle $V$-monadi, passando da \(Met(X)\) a \(Mnd_V(X)\). Non so come.
Un'altra idea al momento molto mal posta prende le mosse dall'osservazione che gli insiemi convessi sono esattamente le algebre per la monade delle distribuzioni finite $D$. Quindi, il fatto che \(Met(X)\) sia uno spazio convesso si traduce nel fatto che \(Mnd_V(X)\) ha una struttura canonica di D-algebra.
La domanda senza gli spazi metrici perciò diventa:
Sia $X$ un insieme e \(Mnd_V(X)\) l'insieme delle V-monadi su $X$; a quali condizioni \(Mnd_V(X)\) supporta una struttura di D-algebra se D è la monade delle distribuzioni finite?
Ho capito un po' di più la domanda, ma purtroppo, almeno per il momento, non mi viene in mente altro da aggiungere ai due esempi precedenti (che non credo siano molto rilevanti in questo contesto).
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