L'insieme degli operatori suriettivi è aperto

[otta96]

C'è un esercizio sul Rudin che dice di dimostrare che, posto $L(X,Y)$ l'insieme degli operatori lineari e continui dove $X$ e $Y$ sono spazi di Banach, l'insieme degli operatori suriettivi è aperto nella topologia indotta dalla norma operatoriale.
Ci stavo pensando ma non mi viene in mente come fare, la cosa a cui avevo pensato era il teorema della mappa aperta, ma la cosa strana è che non è nel capitolo in cui fa questo teorema, quindi forse non è la strada giusta.
Qualcuno ha idee su come si potrebbe fare? Vi ringrazio in anticipo.

[Studente Anonimo]

Prova così: un operatore lineare e continuo \( T : X \to Y \) è suriettivo se e solo il suo aggiunto è limitato dal basso, i.e. sse esiste una costante \( k > 0 \) tale che \( \|T^* y \|_{X^*} \ge k \|y\|_{Y^*} \) per ogni \(y \in Y^*\).

Si usa implicitamente il teorema della mappa aperta però.

[dissonance]

Ho pensato un po' a come evitare il più possibile il ricorso a teoremi astratti. C'è una soluzione semplice, basata sul principio delle contrazioni, che però funziona solo in un intorno dell'operatore identità. Chiaramente, siccome parlo di identità, questo funziona solo per \(X=Y\). Lontano dall'identità non penso sia possibile prescindere dal teorema della mappa aperta.

Immagino che questo ragionamento si possa generalizzare al caso \(X\ne Y\), ma non saprei come.

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Il mio ragionamento è il seguente. Dimostrare che una funzione è surgettiva equivale a dimostrare che una equazione ha soluzioni. Ora, nella mia limitata conoscenza, i teoremi che dimostrano esistenza di soluzioni sono di tre tipi: quelli che usano la compattezza (come Weierstrass), quelli che usano la topologia algebrica (come Brouwer), e quelli che usano il principio delle contrazioni. Qui di compattezza e di topologia algebrica non c'è nemmeno l'ombra. Quindi bisogna usare il principio delle contrazioni.

E allora, supponendo \(X=Y\) (altrimenti, come detto sopra, non ha senso parlare di identità), consideriamo un intorno
\[
\|T-I\|< \delta. \]
Fissiamo \(y\in X\), e consideriamo l'equazione
\[\tag{1}
Tx=y\].
Definiamo un operatore
\[
Px:=y-Tx +x.\]
Siccome
\[
\|P(x_1-x_2)\|=\|(I-T)(x_1-x_2)\|\le \delta \|x_1-x_2\|, \]
se \(\delta <1\) questo operatore è una contrazione, e quindi ha un unico punto fisso. Ora, i punti fissi di \(P\) sono le soluzioni di (1), e questo dimostra che l'intorno aperto di \(I\) di raggio \(1\) contiene solo mappe surgettive e anche ingettive.

E adesso abbiamo finito; infatti, sia \(S\) una mappa lineare surgettiva. Allora essa è pure ingettiva, e quindi invertibile, per il teorema della mappa aperta (qui non penso si possa fare a meno di applicarlo). La mappa \(S^{-1}\) applica l'intorno aperto di \(S\) di raggio \(1/\|S^{-1}\|\) nell'intorno aperto di \(I\) di raggio \(1\). Quindi, se \(T\) è nell'intorno di \(S\), allora \(S^{-1}T\) è nell'intorno dell'identità ed è pertanto invertibile; ma allora \(T\) è invertibile.

Abbiamo così dimostrato che l'intorno aperto di \(S\) di raggio \(\frac{1}{\lVert S^{-1}\rVert}\) contiene solo operatori invertibili; perciò l'insieme degli operatori invertibili è aperto.

[dissonance]

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":Prova così: un operatore lineare e continuo \( T : X \to Y \) è suriettivo se e solo il suo aggiunto è limitato dal basso, i.e. sse esiste una costante \( k > 0 \) tale che \( \|T^* y \|_{X^*} \ge k \|y\|_{Y^*} \) per ogni \(y \in Y^*\).

Si usa implicitamente il teorema della mappa aperta però.

Alla fine penso che questo suggerimento sia quello "giusto". Infatti, l'insieme degli operatori limitati dal basso è aperto, perché se \(\| Ty\|\ge C\|y\|\), e \(\|T-T'\|\le \delta \[
\|T'y\|\ge \|Ty\|-\|(T-T')y\| \ge (C-\delta)\|y\|, \]
quindi \(T'\) è limitato dal basso con costante \(C-\delta >0\). (Qui \('\) NON denota l'aggiunto).

Resterebbe da dimostrare che il passaggio all'aggiunto è continuo rispetto alla norma operatoriale, ma sarà sicuramente ovvio.