Limite successione di funzionali
Buongiorno a tutti.
Ho difficoltà nel risolvere questo esercizio.
Studiare il limite per $\n -> infty$ della successione di funzionali $F_n(varphi)=n^a int_RR e^(-n^2x^2)varphi(x)dx$ al variare di $a>0$.
Grazie mille per l'aiuto.
Ho difficoltà nel risolvere questo esercizio.
Studiare il limite per $\n -> infty$ della successione di funzionali $F_n(varphi)=n^a int_RR e^(-n^2x^2)varphi(x)dx$ al variare di $a>0$.
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
Idee tue?
è proprio qui il problema. Ho studiato la teoria sui funzionali ma non so come trattare una successione di funzionali.
L'unico passaggio che sono riuscita a fare è questo:
$\lim_{n \to \infty} int_RR dxF_n(x)varphi(x)-varphi(0)=0$
ma da qui non so come procedere.
L'unico passaggio che sono riuscita a fare è questo:
$\lim_{n \to \infty} int_RR dxF_n(x)varphi(x)-varphi(0)=0$
ma da qui non so come procedere.
Chi e' \( \varphi\)?
$varphi $ è la distribuzione associata alla funzione $g$
$varphi_g=int_RR g(x)f(x)$
Ho trovato un esempio in cui
$g_n(x)=(n*e^(-n^2x^2))/sqrt(pi)$
e va avanti dicendo che $lim_{n to infty}(varphi_g)(f)=delta_0$
$varphi_g=int_RR g(x)f(x)$
Ho trovato un esempio in cui
$g_n(x)=(n*e^(-n^2x^2))/sqrt(pi)$
e va avanti dicendo che $lim_{n to infty}(varphi_g)(f)=delta_0$
Scusate se separo i post ma mentre scrivo tento di andare avanti con l'esercizio.
Se $g_n=(n*e^(-n^2x^2))/sqrt(pi)$ allora $e^(-n^2x^2)=(g_n*sqrt(pi))/n$. Quindi posso scrivere l'integrale come
$F_n=n^(a-1)*sqrt(pi) int_RR g_nvarphi(x)dx$
Da qui so che $varphi(x)->varphi(0)$
Se $g_n=(n*e^(-n^2x^2))/sqrt(pi)$ allora $e^(-n^2x^2)=(g_n*sqrt(pi))/n$. Quindi posso scrivere l'integrale come
$F_n=n^(a-1)*sqrt(pi) int_RR g_nvarphi(x)dx$
Da qui so che $varphi(x)->varphi(0)$
Dall'ultimo passaggio che ho scritto sono riuscita a concludere ma mi è rimasto un dubbio.
Ho scritto che $F_n=n^(a-1)sqrt(pi)int_RRg_nvarphi(x)$. Successivamente è possibile approssimare in questo modo:
$F_n ~ n^(a-1)sqrt(pi)varphi(0)$
La mia domanda è: posso approssimare così perché $lim_{n to infty}varphi(x)=varphi(0)$ ?
Ho scritto che $F_n=n^(a-1)sqrt(pi)int_RRg_nvarphi(x)$. Successivamente è possibile approssimare in questo modo:
$F_n ~ n^(a-1)sqrt(pi)varphi(0)$
La mia domanda è: posso approssimare così perché $lim_{n to infty}varphi(x)=varphi(0)$ ?
Sei sicuro di aver capito il significato dei simboli?
A me sembra tanto che $phi$ sia una funzione test...
Inoltre, cosa stai studiando? Ci serve un po’ di contesto per capire come vorresti affrontare il problema.
A me sembra tanto che $phi$ sia una funzione test...
Inoltre, cosa stai studiando? Ci serve un po’ di contesto per capire come vorresti affrontare il problema.
Avete perfettamente ragione e penso di avere bisogno anche io di inquadrare in modo più rigoroso il contesto. Il problema è che ho trovato questo esercizio fra quelli di esame. Ho cercato sulle dispense e sul libro la teoria di riferimento ma non ho trovato nulla.
Sono piuttosto certa però che $varphi$ sia una distribuzione, lo dico facendo riferimento alla notazione delle dispense.
Per il resto, non so proprio come contestualizzare l'esercizio.
Sono piuttosto certa però che $varphi$ sia una distribuzione, lo dico facendo riferimento alla notazione delle dispense.
Per il resto, non so proprio come contestualizzare l'esercizio.
Non è possibile che $\phi $ sia una distribuzione, perché ci stai calcolando sopra un funzionale: infatti hai scritto $F_n(\phi) =\dots$ e $phi$ è l'argomento.
Tendo a credere che $F_n$ sia il funzionale determinato da $f_n(x):= n^a e^(-n^2 x^2)$ e che $\phi$ sia la funzione test su cui stai valutando la distribuzione $F_n$.
Tendo a credere che $F_n$ sia il funzionale determinato da $f_n(x):= n^a e^(-n^2 x^2)$ e che $\phi$ sia la funzione test su cui stai valutando la distribuzione $F_n$.
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