Limite nel senso delle distribuzioni

[Oiram92]

Buonasera, svolgendo qualche esercizio sui limiti nel senso delle distribuzioni mi sono reso conto di non possedere un metodo risolutivo generale da poter applicare in qualsiasi soluzione ma solo ad alcuni casi particolari trovati sul mio libro. Ad esempio dovendo studiare :

\(\displaystyle f_n(t) = u(t-n) - \frac{1}{2+n^2t^2} \)

inizio svolgendo :

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} f_n(t) = \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} u(t-n)\; \phi(t)\;dt - \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2+n^2t^2} \;\phi(t)\;dt \)

per quanto riguarda il primo limite-integrale si ha :

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{n}^{\infty} \phi(t) \; dt = 0 \)

mentre per il secondo non so che pesci prendere..facendomi un grafico al variare di \(\displaystyle n \) sembra che il secondo integrale tenda alla \(\displaystyle \delta(t) \) però analiticamente non so come procedere

[pilloeffe]

Ciao Oiram92,

Per quanto riguarda il secondo integrale, mi pare di ricordare che assomigli ad una delle rappresentazioni di $\delta(t)$ di tipo arcotangente. Partendo da

$\int frac{dt}{2 + n^2t^2} = frac{tan^{-1}(frac{nt}{sqrt 2})}{n sqrt 2} + c$

normalizzando si ottiene

$frac{sqrt 2 }{\pi}\int_{-infty}^{+infty} frac{n}{2 + n^2t^2} dt = 1$

quindi

$\lim_{n\to \infty} frac{sqrt 2 }{\pi} frac{n}{2 + n^2t^2} = \delta(t)$

dove quest'ultima relazione è da intendersi nel senso delle distribuzioni, cioè che in realtà si intende la validità della relazione

$\lim_{n\to \infty} \int_{-infty}^{+infty} frac{sqrt 2 }{\pi} frac{n}{2 + n^2t^2} \phi(t) dt = \int_{-infty}^{+infty} \delta(t) \phi(t) dt $

[dissonance]

Ma nell'integrale dell'OP manca la $n$ a numeratore. Infatti io credo che, nel post originale, quell'addendo tenda a zero nel senso delle distribuzioni. Per dimostrarlo bisogna usare un teorema di passaggio al limite sotto integrale, come il teorema della convergenza dominata.

[Oiram92]

Grazie per la risposta, però ho ancora dei dubbi mi manca proprio un metodo sistematico per essere in grado di risolvere qualsiasi esercizio. Cioè, quali sono i passaggi, le verifiche o altro da fare prima di poter dire che una certa \(\displaystyle f_n(t) \to f(t) \) ? Per fare un altro esempio che esce fuori dagli "schemi canonici" che conosco è :

\(\displaystyle f_n(t) = \frac{1}{(|t|+2)^n} \)

PS: nel frattempo continuo la ricerca di dispense chiare (magari con esercizi svolti) su questa parte che mi risulta ancora ostica

PS2: non avevo letto il commento di @dissonance ed ha ragione. La \(\displaystyle n \) non c'è..ho una confusione assurda qual'è la linea da seguire per risolvere questi esercizi?

[dissonance]

Prima di tutto non ti agitare. Spero che il commento non ti suoni come paternalistico (non è mia intenzione), ma "stai diventando grande", nel senso che stai iniziando a studiare matematica avanzata, e non puoi più aspettarti di avere metodi generali per ogni classe di problema. Abituati a dover trovare una soluzione volta per volta. Tra l'altro vedo che hai già capito come conviene iniziare: disegnando un po' di grafici, ti rendi conto di cosa aspettarti, e poi tocca manipolare un po' di integrali (usando gli strumenti del cambio di variabile, dell'integrazione per parti e i teoremi di passaggio al limite) per dimostrare che è effettivamente così o no. Nello specifico, uno ha
\[
f_n(t)= \frac{1}{1+n^2t^2}.\]
A cosa tende questa roba? Intanto, una analisi puntuale mostra che, per ogni \(t\ne 0\), si ha
\[
\lim_{n\to \infty} f_n(t) = 0, \]
mentre \(f_n(0)=1\) per ogni \(n\in\mathbb N\). Abbiamo quindi una successione di funzioni che va puntualmente a \(0\) tranne che in un punto, in cui si mantiene limitata: quindi non ci aspettiamo una delta di Dirac; per quella, la successione dovrebbe "concentrarsi" in un punto. Ci aspettiamo invece che il tutto tenda a \(0\). Per dimostrare questo tipo di risultati di convergenza, lo strumento fondamentale è il teorema della convergenza dominata, per cui, fissata una funzione test \(\phi=\phi(t)\), cerchiamo una stima per
\[
F_n(t)=\left\lvert \frac{\phi(t)}{1+n^2t^2}\right\rvert.\]
indipendente da \(n\). La cosa migliore è anche la più semplice: siccome \(F_{n+1}(t)\le F_{n}(t)\), possiamo considerare la stima
\[
F_{n+1}(t)\le F_1(t)=\frac{|\phi(t)|}{1+t^2}.\]
La funzione a membro destro è non negativa e \(\int_{-\infty}^\infty F_1(t)\, dt<\infty\). Per il teorema della convergenza dominata,
\[
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty F_n(t)\, dt =\int_{-\infty}^\infty \lim_{n\to \infty} F_n(t)\, dt = 0.\]

[Oiram92]

Non so come ringraziarti, grazie mille davvero adesso qualcosa di più chiaro c è. Per quanto riguarda il discorso dell'agitazione è dovuta al fatto che questo venerdì ho l'esame di metodi e quindi la razionalità va a farsi benedire e subentra lo stress psicologico pre-esame..Comunque, mettendo le emozioni da parte, volevo proporti (se puoi) di verificare se ho inteso il metodo con cui si procede in questi due esercizi :

1) \(\displaystyle f_n(t) = \frac{1}{(|t|+2)^n} \to 0 \)

Innanzitutto notiamo che :

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(t \neq 0) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_n(0) = \frac{1}{2^n} \leq 1 \;\;\;\forall n \in \mathbb{N} \)

quindi la successione di funzioni converge puntualmente a \(\displaystyle 0 \;\forall t \neq 0 \) ed è limitata in \(\displaystyle 0 \). Osserviamo preliminarmente (ci tornerà utile in seguito) che essendo :

\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} f_1(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{|t|+2} \to 0 \)

allora \(\displaystyle f_1(t) \) è sommabile in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Adesso fissiamo una funzione di test \(\displaystyle \phi(t) \in D \) liscia ed a supporto compatto in \(\displaystyle [a,b] \) e osserviamo che :

\(\displaystyle F_n(t) = \left| \frac{\phi(t)}{(|t|+2)^n} \right| \leq \left|\frac{\phi(t)}{(|t|+2)}\right| = F_1(t) \)

in cui si nota che \(\displaystyle F_1(t) \) è non negativa ed in particolare, come abbiamo visto poco fa, sia \(\displaystyle f_1(t) \) che \(\displaystyle \phi(t) \) (quest'ultima per definizione) sono entrambe sommabili su \(\displaystyle \mathbb{R} \) e di conseguenza l'integrale esteso su \(\displaystyle \mathbb{R} \) di \(\displaystyle F_1(t) \) esiste finito. Tutto ciò verifica le ipotesi del teorema di Lebesgue e di conseguenza :

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} F_n(t) \; dt = \int_{\mathbb{R}} \lim_{n \to \infty} F_n(t) \;dt = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_n(t) \to 0 \)

nel senso delle distribuzioni.

2) \(\displaystyle f_n(t) = \delta_n + \frac{\pi}{\pi + n^2t^2} \to 0 \)

Adesso, per la proprietà di linearità è conveniente splittare la \(\displaystyle f_n(t) \) in due successioni di funzioni \(\displaystyle g_n(t),h_n(t) \) (per non fare confusione con i pedici) e analizzarle separatamente. Per quanto riguarda la :

\(\displaystyle g_n(t) = \delta_n = \delta(t-n) \)

la faccenda dovrebbe essere abbastanza semplice perchè passando al funzionale si ha :

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} \delta(t-n) \; \phi(t) \;dt = \lim_{n \to \infty} \phi(-n) = 0 \)

perchè \(\displaystyle \phi(t) \) è definitivamente nulla in \(\displaystyle \pm \infty \), di conseguenza \(\displaystyle g_n(t) \to 0 \) nel senso delle distribuzioni. Mentre per :

\(\displaystyle h_n(t) = \frac{\pi}{\pi + n^2t^2} \)

essendo :

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} h_n(t \neq 0) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h_n(0) = 1 \;\;\;\forall n \in \mathbb{N} \)

allora la successione di funzioni converge puntualmente a \(\displaystyle 0 \) per ogni \(\displaystyle t \neq 0 \) e si mantiene limitata in \(\displaystyle 0 \) (pertanto non ci aspettiamo nessuna \(\displaystyle \delta(t) \)). Inoltre osserviamo preliminarmente che \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} - \{0\} \) la \(\displaystyle h_n(t) \) è sommabile. Consideriamo adesso una funzione di test \(\displaystyle \phi(t) \in D \) e analizziamo il funzionale :

\(\displaystyle H_n(t) = \left|\frac{\pi}{\pi + n^2t^2} \;\phi(t) \right| = \left|\frac{\pi}{\pi + n^2t^2} \right| \;|\phi(t)| \leq \left|\frac{\pi}{\pi+t^2}\right| \;|\phi(t)| = H_1(t) \)

inoltre sia \(\displaystyle h_1(t) \) che \(\displaystyle \phi(t) \) sono sommabili su \(\displaystyle \mathbb{R} \) quindi l'integrale su \(\displaystyle \mathbb{R} \) di \(\displaystyle H_1(t) \) esiste finito. Allora, per il teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata si ha che :

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} H_n(t) \;dt = \int_{\mathbb{R}} \lim_{n \to \infty} H_n(t) \;dt = 0 \)

e infine possiamo concludere che la successione di funzioni di partenza converge nel senso delle distribuzioni a \(\displaystyle 0 \)

grazie infinite per l'aiuto che mi stai dando

[dissonance]

Mi pare che vadano bene, solo che per la 1) non occorre distinguere i casi \(t=0\) e \(t\ne 0\); infatti, \(\lim_{n\to \infty} \f_n(0)=0\), esattamente come per gli altri valori di \(t\). Mi sembra che tu abbia capito bene il concetto.

[Oiram92]

ah si è vero perchè (nell'esercizio 1) quando \(\displaystyle n \to \infty \) si ha che \(\displaystyle f_n(t) \to 0 \) a prescindere. Perfetto grazie mille!