Limite in $L^2$ di successione di funzioni quasi ovunque positive
Ho qualche difficoltà nel giustificare questo passaggio di un esercizio di analisi funzionale (il problema in particolare è più che altro di teoria della misura).
Definiamo l'insieme $$K = \{f \in L^2(a,b) \; | \; f \geq 0 \text{ q.o. in } [a,b] \} $$
Devo mostrare che $K$ è chiuso in $L^2(a,b)$. Ho provato a considerare una successione \(\displaystyle \{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq K \) di funzioni quasi ovunque positive, convergente rispetto alla metrica $L^2$, ma non riesco a spiegare per bene perché la funzione limite \(\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_n\) dev'essere anch'essa positiva quasi ovunque.
Ho provato a considerare l'insieme $$E = \{x \in [a,b] \; | \; f(x) < 0\} $$
per provare a mostrare che ha misura nulla.
Penso di dover considerare una qualche successione di insiemi $E_1, E_2, ...$ inclusi ognuno dentro il successivo e tali che $\lim_{n \to \infty} E_n = E$, per poi sfruttare la continuità della misura, ma non riesco a costruire una successione adatta.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Definiamo l'insieme $$K = \{f \in L^2(a,b) \; | \; f \geq 0 \text{ q.o. in } [a,b] \} $$
Devo mostrare che $K$ è chiuso in $L^2(a,b)$. Ho provato a considerare una successione \(\displaystyle \{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq K \) di funzioni quasi ovunque positive, convergente rispetto alla metrica $L^2$, ma non riesco a spiegare per bene perché la funzione limite \(\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_n\) dev'essere anch'essa positiva quasi ovunque.
Ho provato a considerare l'insieme $$E = \{x \in [a,b] \; | \; f(x) < 0\} $$
per provare a mostrare che ha misura nulla.
Penso di dover considerare una qualche successione di insiemi $E_1, E_2, ...$ inclusi ognuno dentro il successivo e tali che $\lim_{n \to \infty} E_n = E$, per poi sfruttare la continuità della misura, ma non riesco a costruire una successione adatta.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Risposte
Prova con $E_n={x\in[a,b]|f(x)<1/n}$.
Un altro modo sarebbe sfruttare la continuità dell'integrale su qualsiasi sottoinsieme misurabile...
Un altro modo sarebbe sfruttare la continuità dell'integrale su qualsiasi sottoinsieme misurabile...
Puoi anche usare il fatto che si può estrarre una sottosuccessione che converge quasi ovunque.
Questa è una soluzione avanzata, più una curiosità che altro. Potrebbe interessare a Bremen, a otta96 e ad eventuali altre o altri utenti di lungo corso che passassero di qua.
L'insieme $K$ non è solo chiuso, è anche un convesso chiuso in $L^2(0, 1)$ rispetto alla topologia debole. E d'ora in poi scrivo $\Omega=(0, 1)$ e $d\mu$ per la misura di Lebesgue. Tutto quanto segue resta vero se $\Omega$ è un aperto di $\mathbb R^n$ qualsiasi (e anche in contesti più generali, ma bisogna modificare la dimostrazione).
Per ogni funzione continua e a supporto compatto $\phi$ su $\Omega$, che inoltre è nonnegativa nel senso che \(\phi(x)\ge 0\) ovunque, definiamo \(\Lambda_\phi(f):=\int_{\Omega} \phi(x)f(x)\, d\mu(x).\) Questo è un funzionale lineare continuo su $L^2(\Omega)$ e chiaramente \(\Lambda_\phi(f)\ge 0\) per ogni \(f\in K\). Quindi \(K\subset \{g\in L^2(\Omega)\ :\ \Lambda_\phi(g)\ge 0\}\).
D'altra parte, \( K=\bigcap_{\phi} \{g\in L^2(\Omega)\ :\ \Lambda_\phi(g)\ge 0 \} \). Gli insiemi a membro destro sono tutti iperspazi chiusi, quindi debolmente chiusi. L'intersezione di iperpiani è un convesso, e l'intersezione di chiusi è un chiuso, quindi \(K\) è un convesso debolmente chiuso.
L'insieme $K$ non è solo chiuso, è anche un convesso chiuso in $L^2(0, 1)$ rispetto alla topologia debole. E d'ora in poi scrivo $\Omega=(0, 1)$ e $d\mu$ per la misura di Lebesgue. Tutto quanto segue resta vero se $\Omega$ è un aperto di $\mathbb R^n$ qualsiasi (e anche in contesti più generali, ma bisogna modificare la dimostrazione).
Per ogni funzione continua e a supporto compatto $\phi$ su $\Omega$, che inoltre è nonnegativa nel senso che \(\phi(x)\ge 0\) ovunque, definiamo \(\Lambda_\phi(f):=\int_{\Omega} \phi(x)f(x)\, d\mu(x).\) Questo è un funzionale lineare continuo su $L^2(\Omega)$ e chiaramente \(\Lambda_\phi(f)\ge 0\) per ogni \(f\in K\). Quindi \(K\subset \{g\in L^2(\Omega)\ :\ \Lambda_\phi(g)\ge 0\}\).
D'altra parte, \( K=\bigcap_{\phi} \{g\in L^2(\Omega)\ :\ \Lambda_\phi(g)\ge 0 \} \). Gli insiemi a membro destro sono tutti iperspazi chiusi, quindi debolmente chiusi. L'intersezione di iperpiani è un convesso, e l'intersezione di chiusi è un chiuso, quindi \(K\) è un convesso debolmente chiuso.
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