Limite di integrale di successioni

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, non sono ancora sicuro che questa sia la sezione adatta per postare questo genere di esercizi, quindi mi affido ai moderatori per l'eventuale spostamento

Detto questo, ho tra le mani un altro integrale:

$lim_(nrarr+oo) int_0^(1/n^2) (n^(4/3)log(1+2x))/(x^(4/3)[1+n^(2n)(4x)^n])$

Il primo dubbio: al tendere di $n$ all'infinito, gli estremi dell'integrale tendono a sovrapporsi. Questo non dovrebbe implicarne l'annullamento? Inoltre, mi hanno insegnato che quando uno degli estremi dell'integrale dipende da $n$ conviene riscrivere l'integrale usando la funzione caratteristica (in questo caso $chi[0,1/n^2]$) e lasciando tendere l'estremo al valore limite (in questo caso zero).

A prescindere da questo discorso, si verifica che la funzione integranda è sommabile in un intorno di zero poiché in modulo $f_n∼1/x^(1/3)$. Quindi a questo punto occorre solo trovare una funzione maggiorante per applicare la convergenza dominata. Se non vado errato la funzione $g(x)=1/x^(1/3)$ dovrebbe appunto andar bene.

Non vorrei intasare la sezione con esercizi di questo tipo, ma effettivamente mi stanno creando non pochi grattacapi. Mi trovo costretto ad affidarmi alla vostra saggezza per imparare grazie mille in anticipo!

[Sk_Anonymous]

"Gustav Wittgenstein":[...] Questo non dovrebbe implicarne l'annullamento? [...]

No, considera \[ \int_0^{1/n} n \, dx \equiv 1 \ \forall \, n \in \mathbb{N}.\]

"Gustav Wittgenstein":[...]A prescindere da questo discorso, si verifica che la funzione integranda è sommabile in un intorno di zero poiché in modulo $f_n∼1/x^(1/3)$. Quindi a questo punto occorre solo trovare una funzione maggiorante per applicare la convergenza dominata. Se non vado errato la funzione $g(x)=1/x^(1/3)$ dovrebbe appunto andar bene. [...]

*Cancellate cose sbagliate*

[Bremen000]

Ciao Delirium, mi domandavo come facessi dalla stima

\(2 n^{4/3} \int_0^{1} \frac{\log(1+2x)}{2x^{4/3} [1 + n^{2n} (4x)^n]} \chi_{[0,1/n^2]}(x) \, dx \le C n^{4/3} \int_0^1 \frac{1}{x^{1/3}} \chi_{[0,1/n^2]}(x) \, dx < \infty\)

a dedurre che esiste una dominante integrabile per la funzione...

Cioè, per esempio anche

\( \int_0^{1/n} n dx < \int_0^{1/n} 2ndx < \infty \)

ma non esiste alcuna dominante integrabile per $n$

Ci deve essere qualcosa di banale che mi sfugge

[Sk_Anonymous]

@Bremen: hai ragione, ho scritto una cosa falsa. Ora penso a come sistemare.

[dissonance]

Meglio cominciare subito con il cambio di variabile \(x=y/n^2\).

[Gustav Wittgenstein]

Intanto grazie a tutti per le risposte. Dissonance, da quella sostituzione non ci cavo fuori molto

Delirium, nella maggiorazione che hai scritto hai lasciato un fattore di $n^(4/3)$. Immagino sia quello il problema? Non esiste un modo per levarselo dalle scatole?

[Bremen000]

Caspita con quella sostituzione viene tutto perfettamente:

\[ I:= \lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{1} \frac{n^{4/3}\log(1+2x)}{x^{4/3}(1+n^{2n}(4x)^n)} \chi_{[0,\frac{1}{n^2}]}(x)dx = \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} \frac{n^2 \log(1+\frac{2y}{n^2})}{y^{4/3}(1+(4y)^n)}dy \]

Poiché

\[ \frac{n^2 \log(1+\frac{2y}{n^2})}{y^{4/3}(1+(4y)^n)} \le \frac{n^2\frac{2y}{n^2}}{y^{4/3}} = \frac{2}{y^{1/3}} \in L^1((0,1)) \]

Si può dunque applicare il teorema della convergenza dominata, siccome

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 \log(1+\frac{2y}{n^2})}{y^{4/3}(1+(4y)^n)} = \lim_{n \to + \infty} \frac{2y}{y^{4/3}(1+(4y)^n)} = \begin{cases}\frac{2}{y^{1/3}} \quad \quad \text{se } 0
Si ha:

\[ I = \int_0^1 \left( \lim_{n \to + \infty} \frac{n^2 \log(1+\frac{2y}{n^2})}{y^{4/3}(1+(4y)^n)} \right )dy = \int_{0}^{1/4}\frac{2}{y^{1/3}}dy = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \]

Spero di non aver sbagliato i conti!

[Gustav Wittgenstein]

Caspita, hai ragione! Davvero magnifico. Grazie a tutti. L'unico problema è che difficilmente in sede d'esame avrei l'occhio per trovare sostituzioni furbe come questa... dissonance, come hai fatto a trovarla?

[Sk_Anonymous]

Avevo pensato di usare il teorema della media integrale e stimare (se possibile) a che velocita' il punto \( c \in [0, 1/n^2]\) andasse a \(0\) ma si', il cambio di variabile (che ottusamente non ho visto) e' moooolto piu' smooth!

[dissonance]

Mi fa piacere che vada bene. Nelle successioni di funzioni, molto spesso è tutta questione di traslazione e di cambiamento di scala. In questo caso, il fatto che il termine a denominatore si potesse riscrivere come \(1+(4n^2x)^n\) suggerisce di porre \(x=y/n^2\). Con questa sostituzione il dominio di integrazione diventa \([0, 1]\), il che rinforza l'idea di aver trovato "il giusto fattore di scala".

Ma queste sono solo chiacchiere, naturalmente. Se fanno confondere, meglio lasciarle perdere e continuare a fare esercizi per conto proprio.