Limite di integrale

[Galager]

Ciao a tutti potete aiutarmi con questo esercizio?
Sia $B_n={(\rhocost, \rhosint) : \rho \in [2,3], t \in [n\alpha, (n+1)\alpha]}$, con $\alpha= pi/(138\sqrt(3))$
Calcolare, se esiste $lim_{n->infty}int_{B_n}(x^3)/(2+cos^2(nxy))dxdy$.
Ho provato a riscrivere la funzione come combinazione lineare di funzioni caratteristiche per integrare su $R^2$, poi passando in coordinate polari ho provato a cercare una funzione sommabile che maggiorasse la successione ma non l'ho trovata. Come potrei fare? Grazie!

[Quinzio]

"Galager":Ciao a tutti potete aiutarmi con questo esercizio?
Sia $ B_n={(\rhocost, \rhosint) : \rho \in [2,3], t \in [n\alpha, (n+1)\alpha]} $, con $ \alpha= pi/(138\sqrt(3)) $
Calcolare, se esiste $ lim_{n->infty}int_{B_n}(x^3)/(2+cos^2(nxy))dxdy $.
Ho provato a riscrivere la funzione come combinazione lineare di funzioni caratteristiche per integrare su $ R^2 $, poi passando in coordinate polari ho provato a cercare una funzione sommabile che maggiorasse la successione ma non l'ho trovata. Come potrei fare? Grazie!

E' un esercizio abbastanza "sporco" da risolvere, nel senso che la soluzione non si riduce a qualche passaggio algebrico in forma chiara e comprensibile, ma bisogna fare qualche supposizione, qualche maggiorazione e poi dimostrare che il limite oscilla continuamente quando $n-> \oo$.
Intuitivamente, la funzione da integrare e' positiva per $x>0$ (e negativa altrove) e le aree da integrare sono degli "spicchi" di una corona circolare "molto sottili". Lo spicchio da integrare si muove lungo la corona al crescere di $n$. Non e' difficile vedere che il limite quindi oscilla tra valori positivi e negativi.
Innanzitutto va notato che il denominatore della frazione $2+cos^2(nxy)$ oscilla tra 2 e 3.
Quindi prenderemo 3 come maggiorazione del denominatore, ma qualsiasi numero alla fine va bene ai fini della dimostrazione.
Per quanto riguarda il raggio lo minoriamo con 2, siccome ha intervallo $[2,3]$.

Quindi riscriviamo l'integrale come:
$ int_{B_n}|x^3|/(2+cos^2(nxy))dxdy >= int_{B_n}(\rho^4 |cos^3 \beta|)/3d\rhod\beta >= k_1 int_{n\alpha}^{(n+1)\alpha}|cos^3 \beta|d\beta $,

dove $k_1$ sara' una qualche costante il cui valore esatto non interessa particolarmente (si trova facillmente dall'integrazione del raggio).

Adesso si tratta di trovare una minorazione del $|cos \alpha|$.
Si inizia col notare che per ogni valore di $k$, esiste un $n$ per cui

$2k\pi-\alpha < n\alpha <2k\pi< (n+1)\alpha < 2k\pi + \alpha$
$ k \in \NN$.

Prendendo il coseno della disuguaglianza appena scritta, e con un semplice ragionamento trigonometrico, si arriva a:
$0 < cos (2k\pi-\alpha) = cos (\alpha) < cos (n\alpha)$
e
$0 < cos (2k\pi+\alpha) = cos (\alpha) < cos ((n+1)\alpha)$.

Ecco quindi che:
$int_{n\alpha}^{(n+1)\alpha}|cos^3 \beta|d\beta > \alpha \cos^3(\alpha)$.

Abbiamo dimostrato che esistono infiniti valori dell'integrale che sono maggiori di un certa costante (positiva).
Adesso si tratta di rifare gli stessi ragionamenti (che lascio fare a te) "posizionandosi" nei pressi di $2(k+1)\pi $ dove $cos(2(k+1)\pi) = -1$.
In pratica si tratta di riscrivere le disuguaglianze invertendo i versi di maggiore e minore di.

In definitiva il limite non esiste, perche' al crescere di $n$, si hanno comunque infiniti valori maggiori di una certa costante e infiniti valori minori di una certa altra costante.