Lemmi di Jordan con esempio di integrale improprio
Salve. Vorrei approfittare di questo esercizio di esempio per esporre le mie perplessità sui tre lemmi di Jordan.
Dimostrare che $\int_{-\infty}^{\infty} sinx/x dx = \pi$
$\int_{-\infty}^{\infty} sinx/x dx = Im \int_{-\infty}^{\infty}e^{jx}/x dx = Im ( \lim_{R\rightarrow +\infty} \int_{-R}^{R} e^{jz}/z dz )$
Per trovare quest'ultimo integrale considero l'integrale curvilineo lungo una curva $\gamma$ che non contiene nessuna singolarità e, per il teorema dei residui, varrà $0$
$\int_{\gamma} e^{jz}/z dz = \int_{-R}^{-\varepsilon} e^{jz}/z dz + \int_{\varepsilon}^{R} e^{jz}/z dz + \int_{\Gamma_R} e^{jz}/z dz + \int_{\Gamma_\epsilon} e^{jz}/z dz = 0$
Analizzando gli integrali (da sinistra, dopo il primo segno di uguaglianza)
Il terzo integrale tende a $0$ per $R\rightarrow +\infty$ per il Lemma di Jordan
1) Nelle dispense del docente c'è scritto che un'ipotesi del Lemma di Jordan è che il limite per $z\rightarrow \infty$ di $f(z) = e^{jz}/z$ debba fare $0$ ... ma come viene soddisfatta questa ipotesi? Cosa mi sfugge?
Il quarto integrale per il Lemma del piccolo cerchio è $j\pi$ ma deve essere cambiato di segno per via del suo orientamento orario, quindi $-j\pi$
Risulta quindi che i primi due integrali sono l'opposto degli ultimi due, ovvero $j\pi$
2) Ma scusate, $\epsilon$ non dovrebbe tende a $0$ mentre $R$ tende a $+\infty$? Non dovrei definire $\varepsilon$ come $1/R$? Altrimenti avrei che solo la curva $\Gamma_R$ cresce, mentre la curva $\Gamma_\varepsilon$ no...
-
In definitiva abbiamo $Im ( \lim_{R\rightarrow +\infty} \int_{-R}^{R} e^{jz}/z dz ) = Im(j\pi) = \pi$
-
Inoltre 3) non è proprio un dubbio riguardo questo esempio ma più in generale... mi farebbe davvero piacere se qualcuno mi spiegasse in termini elementari, senza entrare in formalismi matematici, il vero significato di questi tre lemmi di Jordan (del grande cerchio, del piccolo cerchio, lemma di Jordan) con maggiore enfasi sulle differenze delle ipotesi in cui ci poniamo.
Vorrei capirne il significato, l'utilità negli esercizi, l'importanza... spero di non chiedere troppo...
Grazie in anticipo!
Dimostrare che $\int_{-\infty}^{\infty} sinx/x dx = \pi$
$\int_{-\infty}^{\infty} sinx/x dx = Im \int_{-\infty}^{\infty}e^{jx}/x dx = Im ( \lim_{R\rightarrow +\infty} \int_{-R}^{R} e^{jz}/z dz )$
Per trovare quest'ultimo integrale considero l'integrale curvilineo lungo una curva $\gamma$ che non contiene nessuna singolarità e, per il teorema dei residui, varrà $0$
$\int_{\gamma} e^{jz}/z dz = \int_{-R}^{-\varepsilon} e^{jz}/z dz + \int_{\varepsilon}^{R} e^{jz}/z dz + \int_{\Gamma_R} e^{jz}/z dz + \int_{\Gamma_\epsilon} e^{jz}/z dz = 0$
Analizzando gli integrali (da sinistra, dopo il primo segno di uguaglianza)
Il terzo integrale tende a $0$ per $R\rightarrow +\infty$ per il Lemma di Jordan
1) Nelle dispense del docente c'è scritto che un'ipotesi del Lemma di Jordan è che il limite per $z\rightarrow \infty$ di $f(z) = e^{jz}/z$ debba fare $0$ ... ma come viene soddisfatta questa ipotesi? Cosa mi sfugge?
Il quarto integrale per il Lemma del piccolo cerchio è $j\pi$ ma deve essere cambiato di segno per via del suo orientamento orario, quindi $-j\pi$
Risulta quindi che i primi due integrali sono l'opposto degli ultimi due, ovvero $j\pi$
2) Ma scusate, $\epsilon$ non dovrebbe tende a $0$ mentre $R$ tende a $+\infty$? Non dovrei definire $\varepsilon$ come $1/R$? Altrimenti avrei che solo la curva $\Gamma_R$ cresce, mentre la curva $\Gamma_\varepsilon$ no...
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In definitiva abbiamo $Im ( \lim_{R\rightarrow +\infty} \int_{-R}^{R} e^{jz}/z dz ) = Im(j\pi) = \pi$
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Inoltre 3) non è proprio un dubbio riguardo questo esempio ma più in generale... mi farebbe davvero piacere se qualcuno mi spiegasse in termini elementari, senza entrare in formalismi matematici, il vero significato di questi tre lemmi di Jordan (del grande cerchio, del piccolo cerchio, lemma di Jordan) con maggiore enfasi sulle differenze delle ipotesi in cui ci poniamo.
Vorrei capirne il significato, l'utilità negli esercizi, l'importanza... spero di non chiedere troppo...
Grazie in anticipo!
Risposte
1) Riporto qui come spoiler il lemma di Jordan (tratto dagli appunti di metodi matematici del prof. Greco)
Nel tuo caso ovviamente $\alpha = 1$ e dal lemma si intuisce bene che $g(z)$ è la funzione che moltiplica l'esponenziale, quindi nel tuo caso $g(z) = \frac{1}{z}$ che banalmente tende a $0$ per $z -> \infty$
2) Si, infatti il risultato finale si esprime in questo modo
$\int_{\-infty}^{+infty} \frac{e^{jx}}{x} dx = lim_{\epsilon -> 0} lim_{R -> \infty) (\int_{\-R}^{-\epsilon} \frac{e^{jx}}{x}dx + \int_{\epsilon}^{R} \frac{e^{jx}}{x} dx)$ = $\pi j$
3) Passo la parola a un matematico che saprà delucidarti sicuramente molto meglio di me.
Nel tuo caso ovviamente $\alpha = 1$ e dal lemma si intuisce bene che $g(z)$ è la funzione che moltiplica l'esponenziale, quindi nel tuo caso $g(z) = \frac{1}{z}$ che banalmente tende a $0$ per $z -> \infty$
2) Si, infatti il risultato finale si esprime in questo modo
$\int_{\-infty}^{+infty} \frac{e^{jx}}{x} dx = lim_{\epsilon -> 0} lim_{R -> \infty) (\int_{\-R}^{-\epsilon} \frac{e^{jx}}{x}dx + \int_{\epsilon}^{R} \frac{e^{jx}}{x} dx)$ = $\pi j$
3) Passo la parola a un matematico che saprà delucidarti sicuramente molto meglio di me.
Grazie mille!
Se qualcuno può rimediare al terzo punto mi farebbe molto piacere!
Se qualcuno può rimediare al terzo punto mi farebbe molto piacere!
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