Laplaciano di $1/r$

[LoreT314]

Salve a tutti, stavo cercando di dimostrare in maniera rapida che $\Delta 1/r=-4\pi \delta^{(3)}(x)$. Io conosco una dimostrazione che passa dall'identità di rappresentazione ma starei cercando una dimostrazione più rapida e diretta. Sui libri di fisica vedo che viene dimostrata usando il teorema della divergenza $\int_{B_r(0)} d^3 x \nabla \cdot(grad 1/r)=\int_{\partial B_r(0)} d^2 x \grad 1/r= int_{\partial B_r(0)} d^2 x (-1/r^2)=\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{pi} d\cos\theta (-r^2/r^2)=-4\pi$
Questo metodo non mi sembra però particolarmente sensato in quanto (al di là del fatto che non si usano funzioni test) l'applicazione del teorema della divergenza in questo modo mi sembra poco giustificata.

[gugo82]

Vuoi dimostrare che $u(r) = - 1/(4pi r)$ (con $r=sqrt(x^2 + y^2 + z^2)$) è la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace in $RR^3$.
La dimostrazione è tediosa e si fa isolando la singolarità ed applicando il teorema della divergenza su palline che hanno raggio "piccolo". I dettagli li trovi sul libro di Evans, Partial Differential Equations - second edition (se non erro, capitolo 2).

[LoreT314]

Si quella a cui fai riferimento è quella che io conosco col nome identità di rappresentazione. Un fisico sicuramente però non si mette fare quelle cose quindi se mi metto a dimostrarla così mi guarda storto...applicare il teorema della divergenza come facevo sopra è proprio irrecuperabilmente scorretto?

[gugo82]

Scusa, LoreT314, perché non lo chiedi al tuo docente se quella roba lì va bene?
Per me non ha granché senso, e così per chiunque conosca un po' di Analisi... Compreso il tuo docente di Metodi (immagino).