Invarianti di Riemann
Buonasera a tutti,
stu studiando i sistemi di equazioni alle derivate parziali del prim'ordine di tipo iperbolico, in particolare il sistema di equazioni di Eulero usate in gasdinamica.
Per questi problemi, sappiamo che non possiamo risalire alla soluzione per mezzo del metodo della caratteristiche poiché la gli autovalori sono funzione delle variabili.
Pertanto, se consideriamo il problema:
$ (partial vec(u))/(partial t) + A(partialvec(u))/(partial x) =vec(0) $
e sfruttiamo la definizione di autovettore sinistro:
$ vec(l)^[k} A = lambda ^{k}vec(l)^{k} $
lungo la caratteristica possiamo scrivere:
$ vec(l)^{k} * ((d vec(u))/(d t))_{Gamma } = 0 $
Da qui è semplice definire l'invariante di Riemann, inteso come quella funzione che soddisfa la relazione:
$ vec(l)_{k} * ((d vec(u))/(d t))_{Gamma} = ((d R^{k})/(d t))_{Gamma} $
e quindi:
$ vec(l)_{k} * d vec(u) = d R^{k} $.
Fin qui tutto bene, poi però ho trovato la seguente definizione di Invarianti generalizzati di Riemann:
$ R^{k}(vec(u)), (d R^{k})/(d vec(r)^{k})=vec(grad) R^{k} *vec(r)^{k}=0$
dove $ vec(r)^{k}$ indica il k-esimo autovalore destro. Ritengo quindi scontato che fra le due definizioni debba esserci un nesso, che però non riesco a identificare.
Inoltre le due definizioni non credo possano combaciare poiché dalla prima definizione è possibile scrivere:
$ vec(l)^{k} = vec( grad )R^{k}$
che combinata con la seconda porta a:
$ vec(l)^{k} * vec(r)^{k} =0$
ma questo è in contraddizione con:
$ vec(l)^{k} * vec(r)^{k} =1$
Questo significa che mi sta sfuggendo qualcosa, ma non capisco cosa.
Inoltre, alla prima formulazione riesco a dare una spiegazione mentre la seconda equivale a dire che la derivata direzionale dell'invariante k-esimo lungo la direzione $vec(r)^{k}$ è nulla, per non so quale ragione.
Sicuramente voi potete aiutarmi a districarmi in mezzo a questo labirinto in cui mi trovo!
stu studiando i sistemi di equazioni alle derivate parziali del prim'ordine di tipo iperbolico, in particolare il sistema di equazioni di Eulero usate in gasdinamica.
Per questi problemi, sappiamo che non possiamo risalire alla soluzione per mezzo del metodo della caratteristiche poiché la gli autovalori sono funzione delle variabili.
Pertanto, se consideriamo il problema:
$ (partial vec(u))/(partial t) + A(partialvec(u))/(partial x) =vec(0) $
e sfruttiamo la definizione di autovettore sinistro:
$ vec(l)^[k} A = lambda ^{k}vec(l)^{k} $
lungo la caratteristica possiamo scrivere:
$ vec(l)^{k} * ((d vec(u))/(d t))_{Gamma } = 0 $
Da qui è semplice definire l'invariante di Riemann, inteso come quella funzione che soddisfa la relazione:
$ vec(l)_{k} * ((d vec(u))/(d t))_{Gamma} = ((d R^{k})/(d t))_{Gamma} $
e quindi:
$ vec(l)_{k} * d vec(u) = d R^{k} $.
Fin qui tutto bene, poi però ho trovato la seguente definizione di Invarianti generalizzati di Riemann:
$ R^{k}(vec(u)), (d R^{k})/(d vec(r)^{k})=vec(grad) R^{k} *vec(r)^{k}=0$
dove $ vec(r)^{k}$ indica il k-esimo autovalore destro. Ritengo quindi scontato che fra le due definizioni debba esserci un nesso, che però non riesco a identificare.
Inoltre le due definizioni non credo possano combaciare poiché dalla prima definizione è possibile scrivere:
$ vec(l)^{k} = vec( grad )R^{k}$
che combinata con la seconda porta a:
$ vec(l)^{k} * vec(r)^{k} =0$
ma questo è in contraddizione con:
$ vec(l)^{k} * vec(r)^{k} =1$
Questo significa che mi sta sfuggendo qualcosa, ma non capisco cosa.
Inoltre, alla prima formulazione riesco a dare una spiegazione mentre la seconda equivale a dire che la derivata direzionale dell'invariante k-esimo lungo la direzione $vec(r)^{k}$ è nulla, per non so quale ragione.
Sicuramente voi potete aiutarmi a districarmi in mezzo a questo labirinto in cui mi trovo!
Risposte
Ma questi invarianti generalizzati a che servono? Ti servono? Se non ti servono lascia perdere. Specialmente se, come temo, li hai trovati chissà dove su internet.
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