Integrazione per parti
Buonasera,
mi scuso anticipatamente, probabilmente è una banalità, ma per me risulta insolita.
Vorrei capire come si applica l'integrazione per parti al seguente integrale:
$ int_(-oo )^(+oo ) dx psi(x) (-h/i(partial) /(partial x)) $
conosco il risultato dell'integrazione ovvero: $ int_(-oo )^(+oo ) dx h/i(partialpsi) /(partial x) $
le condizioni al contorno, sono tali per cui la funzione psi si annulla all'infinito.
Immagino che la mia f(x) sia $psi (x)$ e $g'(x)=(-h/ipartial /(partial x))$
Ora, capisco che $f'(x)=(partialpsi)/(partialx)$, ma non capisco come ragionare per avere g(x).
Grazie del vostro tempo.
mi scuso anticipatamente, probabilmente è una banalità, ma per me risulta insolita.
Vorrei capire come si applica l'integrazione per parti al seguente integrale:
$ int_(-oo )^(+oo ) dx psi(x) (-h/i(partial) /(partial x)) $
conosco il risultato dell'integrazione ovvero: $ int_(-oo )^(+oo ) dx h/i(partialpsi) /(partial x) $
le condizioni al contorno, sono tali per cui la funzione psi si annulla all'infinito.
Immagino che la mia f(x) sia $psi (x)$ e $g'(x)=(-h/ipartial /(partial x))$
Ora, capisco che $f'(x)=(partialpsi)/(partialx)$, ma non capisco come ragionare per avere g(x).
Grazie del vostro tempo.
Risposte
Ciao cla29,
Sicuro delle notazioni?
Ricordo di aver visto cose del genere per gli operatori hermitiani.
Un operatore si dice hermitiano se $\langle f | \hat Omega g \rangle = [\langle g | \hat Omega f \rangle]^{star} = \langle \hat Omega f | g \rangle $, cioè se
$\int f^{\star} \hat Omega g \text{d}\tau = [\int g^{\star} \hat Omega f \text{d}\tau]^{\star}= \int [\hat Omega f]^{\star} g \text{d}\tau $
Gli operatori associati ad osservabili sono tutti hermitiani, perché gli operatori hermitiani hanno la proprietà di avere autovalori tutti reali. Ad esempio, l’operatore momento è hermitiano, infatti
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_m^{\star}(x) \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi_n(x)}{\partial x} \text{d}x = \frac{\hbar}{i} [\psi_m^{\star}(x) \psi_n(x)]_{-\infty}^{+\infty} - \frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \psi_m^{\star}(x)}{\partial x} \psi_n(x) \text{d}x =[/tex]
[tex]= 0 - \frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \psi_m^{\star}(x)}{\partial x} \psi_n(x) \text{d}x = - \frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \psi_m^{\star}(x)}{\partial x} \psi_n(x) \text{d}x = \bigg[\frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \psi_m(x)}{\partial x} \psi_n^{\star}(x) \text{d}x\bigg]^{\star}[/tex]
Sicuro delle notazioni?
Ricordo di aver visto cose del genere per gli operatori hermitiani.
Un operatore si dice hermitiano se $\langle f | \hat Omega g \rangle = [\langle g | \hat Omega f \rangle]^{star} = \langle \hat Omega f | g \rangle $, cioè se
$\int f^{\star} \hat Omega g \text{d}\tau = [\int g^{\star} \hat Omega f \text{d}\tau]^{\star}= \int [\hat Omega f]^{\star} g \text{d}\tau $
Gli operatori associati ad osservabili sono tutti hermitiani, perché gli operatori hermitiani hanno la proprietà di avere autovalori tutti reali. Ad esempio, l’operatore momento è hermitiano, infatti
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_m^{\star}(x) \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi_n(x)}{\partial x} \text{d}x = \frac{\hbar}{i} [\psi_m^{\star}(x) \psi_n(x)]_{-\infty}^{+\infty} - \frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \psi_m^{\star}(x)}{\partial x} \psi_n(x) \text{d}x =[/tex]
[tex]= 0 - \frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \psi_m^{\star}(x)}{\partial x} \psi_n(x) \text{d}x = - \frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \psi_m^{\star}(x)}{\partial x} \psi_n(x) \text{d}x = \bigg[\frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \psi_m(x)}{\partial x} \psi_n^{\star}(x) \text{d}x\bigg]^{\star}[/tex]
Gentilissimo,
se hai ancora pazienza, puoi vedere il passaggio incriminato ai 17:40:
https://www.youtube.com/watch?v=XQKV-hp ... G&index=39
se hai ancora pazienza, puoi vedere il passaggio incriminato ai 17:40:
https://www.youtube.com/watch?v=XQKV-hp ... G&index=39
Visto.
Beh, mi pare chiaro che l'operatore [tex]-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}[/tex], che inizialmente agisce su $ \delta(x' - x)$, a seguito dell'integrazione per parti (IBP, Integration By Parts) poi agisce su $\psi(x) $ secondo la seguente:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x) (\del )/(\del x) \delta(x' - x) \text{d}x = [\delta(x' - x)\psi(x)]_{-\infty}^{+\infty}−\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x - x') (\del )/(\del x) \psi(x) \text{d}x $
Quindi si ha:
[tex]\int \text{d}x' \psi^{\star}(x') \int \text{d}x \psi (x) \bigg(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}\bigg) \delta(x' - x) = \int \text{d}x' \psi^{\star}(x') \int \text{d}x \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} \delta(x - x') =[/tex]
[tex]= \int \text{d}x \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} \int \text{d}x' \psi^{\star}(x') \delta(x - x') = \int \text{d}x \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} \psi^{\star}(x) = \int \text{d}x \psi^{\star}(x) \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi (x) =[/tex]
[tex]= \int \text{d}x \psi^{\star}(x) \hat p \psi(x)[/tex]
ove [tex]\hat p = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}[/tex]
In generale in meccanica quantistica il valore atteso di un operatore $\hat Q$ si definisce nel modo seguente:
$ \langle \hat Q \rangle = \int \text{d}x \psi^{\star}(x, t) [\hat Q \psi(x, t)] $
quindi $ \langle \hat Q \rangle $ è dipendente dal tempo.
Beh, mi pare chiaro che l'operatore [tex]-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}[/tex], che inizialmente agisce su $ \delta(x' - x)$, a seguito dell'integrazione per parti (IBP, Integration By Parts) poi agisce su $\psi(x) $ secondo la seguente:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x) (\del )/(\del x) \delta(x' - x) \text{d}x = [\delta(x' - x)\psi(x)]_{-\infty}^{+\infty}−\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x - x') (\del )/(\del x) \psi(x) \text{d}x $
Quindi si ha:
[tex]\int \text{d}x' \psi^{\star}(x') \int \text{d}x \psi (x) \bigg(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}\bigg) \delta(x' - x) = \int \text{d}x' \psi^{\star}(x') \int \text{d}x \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} \delta(x - x') =[/tex]
[tex]= \int \text{d}x \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} \int \text{d}x' \psi^{\star}(x') \delta(x - x') = \int \text{d}x \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} \psi^{\star}(x) = \int \text{d}x \psi^{\star}(x) \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi (x) =[/tex]
[tex]= \int \text{d}x \psi^{\star}(x) \hat p \psi(x)[/tex]
ove [tex]\hat p = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}[/tex]
In generale in meccanica quantistica il valore atteso di un operatore $\hat Q$ si definisce nel modo seguente:
$ \langle \hat Q \rangle = \int \text{d}x \psi^{\star}(x, t) [\hat Q \psi(x, t)] $
quindi $ \langle \hat Q \rangle $ è dipendente dal tempo.
Le sono davvero riconoscente. Mille Grazie!
Prego, ma non mi dare del lei, che sul forum non si usa e poi mi fai sentire più vecchio di quel che sono... 
In realtà voglio ringraziarti anch'io per avermi "costretto" a rinfrescare argomenti che ho trattato più di 25 anni fa (esame di Elettronica quantistica, sostenuto il 19/04/1995 col grande Prof. Massimo Rudan)
In realtà voglio ringraziarti anch'io per avermi "costretto" a rinfrescare argomenti che ho trattato più di 25 anni fa (esame di Elettronica quantistica, sostenuto il 19/04/1995 col grande Prof. Massimo Rudan)
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