Integrazione Funzionale
Salve,continuando ad cimentarmi con il calcolo delle variazioni mi sono imbattuto in un quesito;
"Conoscendo la variazione prima di un funzionale,posso ricavare il funzionale stesso?E se sì come?"
Se non vi dispiace potreste rispondere alla mia domanda?
"Conoscendo la variazione prima di un funzionale,posso ricavare il funzionale stesso?E se sì come?"
Se non vi dispiace potreste rispondere alla mia domanda?
Risposte
Secondo me stai bruciando troppe tappe. Questa domanda non è da porsi sui funzionali, devi prima avere capito bene il calcolo differenziale standard. "Conoscendo il gradiente di una funzione di due variabili, posso ricostruire la funzione?" È qui che devi riflettere, non su funzionali e mostri astratti.
Scusa partendo dal gradiente di una funzione:
$ nablau(x,y)=( (u_x), (u_y) ) $
per ricavare la funzione originaria non mi basta prendere una delle due componenti e integrare rispetto alla giusta variabile?
$ nablau(x,y)=( (u_x), (u_y) ) $
per ricavare la funzione originaria non mi basta prendere una delle due componenti e integrare rispetto alla giusta variabile?
Prova un po' a calcolarmi la funzione originaria sapendo che
\[ \nabla u (x, y ) = \begin{bmatrix} y \\ x+1 \end{bmatrix}, \]
per favore.
\[ \nabla u (x, y ) = \begin{bmatrix} y \\ x+1 \end{bmatrix}, \]
per favore.
Penso che u(x,y) si ottenga così:
$ { ( inty dx ),(intx+1dy ):}={ ( xy+c_1 ),(xy+y+c_2 ):} $
ora poiché il secondo integrale è quello che mi restituisce un risultato che se derivato mi dà esattamente il gradiente della funzione,io credo che:
$ u(x,y)=xy+y+c $
giusto?
$ { ( inty dx ),(intx+1dy ):}={ ( xy+c_1 ),(xy+y+c_2 ):} $
ora poiché il secondo integrale è quello che mi restituisce un risultato che se derivato mi dà esattamente il gradiente della funzione,io credo che:
$ u(x,y)=xy+y+c $
giusto?
Giusto, ma vedi come la prima integrazione ti ha dato un risultato sbagliato? Prova con questo esempio:
\[
\nabla u = (2x, 2y).\]
Se integri come fai tu ottieni i due possibili risultati $u=x^2+ C , u=y^2+ C$, entrambi sono falsi. Infatti il risultato corretto è $u=x^2+y^2+ C$.
Per ottenerlo con una sola integrazione devi calcolare questo integrale qui:
\[
U(x_0, y_0)=\int_\gamma \nabla u \cdot \vec{ds}, \]
dove \(\gamma\) è il segmento che congiunge \((0,0)\) a \((x_0, y_0)\). Si tratta di un integrale di linea, un concetto che non so se conosci. Questo concetto si generalizza ai funzionali su spazi di dimensione infinita e ti permette di recuperare un funzionale conoscendone la variazione prima (modulo un po' di dettagli tecnici che non ho controllato).
\[
\nabla u = (2x, 2y).\]
Se integri come fai tu ottieni i due possibili risultati $u=x^2+ C , u=y^2+ C$, entrambi sono falsi. Infatti il risultato corretto è $u=x^2+y^2+ C$.
Per ottenerlo con una sola integrazione devi calcolare questo integrale qui:
\[
U(x_0, y_0)=\int_\gamma \nabla u \cdot \vec{ds}, \]
dove \(\gamma\) è il segmento che congiunge \((0,0)\) a \((x_0, y_0)\). Si tratta di un integrale di linea, un concetto che non so se conosci. Questo concetto si generalizza ai funzionali su spazi di dimensione infinita e ti permette di recuperare un funzionale conoscendone la variazione prima (modulo un po' di dettagli tecnici che non ho controllato).
Non che sia un esperto,ma io comunque ho usato alcune volte gli integrali di linea,superficie e volume,però io non ho mai lavorato in spazi infinito-dimensionali.Se non ti dispiace potresti spiegarmi il metodo per ricavare un funzionale dalla sua variazione prima?
p.s:se non sbaglio si definisce così:
$ (delta U)/(deltaf(x_i))=(dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(df(x_i))-nabla*(dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(dgradf(x_i)) $
dove
$ U=intL(x_i,f(x_i),gradf(x_i))dx_i $
p.s:se non sbaglio si definisce così:
$ (delta U)/(deltaf(x_i))=(dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(df(x_i))-nabla*(dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(dgradf(x_i)) $
dove
$ U=intL(x_i,f(x_i),gradf(x_i))dx_i $
Occhio... Quello è il primo membro dell'equazione di Eulero del funzionale, non la variazione prima. 
Inoltre, attenzione alle notazioni: vedo un po' troppe $x$ da quelle parti.
Inoltre, attenzione alle notazioni: vedo un po' troppe $x$ da quelle parti.
Ma se il primo membro cioè:
$ (deltaU)/(deltaf(x_i) $
non è la variazione prima allora cos'è precisamente?
$ (deltaU)/(deltaf(x_i) $
non è la variazione prima allora cos'è precisamente?
Niente.
Infatti, quel simbolo non ha significato.
La variazione prima di un funzionale è a sua volta un funzionale (cioè una funzione definita in uno spazio di funzioni), non può essere una funzione "di punto" (cioè una funzione definita in un insieme numerico).
In particolare, la variazione prima di un funzionale $I$ "buono" sulla funzione $u$ è il funzionale lineare $\delta I_u$ che ad ogni funzione "test" $\phi$ associa il numero:
\[
\delta I_u[\phi] := \lim_{t\to 0} \frac{I[u+t\phi] - I}{t} = \left. \frac{\text{d}}{\text{d} t} I[u+t\phi]\right|_{t=0}\; .
\]
Per capirci, è come se stessi commettendo l'errore di confondere la derivata prima di una funzione reale in un punto, cioè il numero \(f^\prime (x_0)\), con il differenziale della stessa funzione nello stesso punto, cioè con l'applicazione \(\Delta x\mapsto f^\prime (x_0)\Delta x\).
Infatti, quel simbolo non ha significato.
La variazione prima di un funzionale è a sua volta un funzionale (cioè una funzione definita in uno spazio di funzioni), non può essere una funzione "di punto" (cioè una funzione definita in un insieme numerico).
In particolare, la variazione prima di un funzionale $I$ "buono" sulla funzione $u$ è il funzionale lineare $\delta I_u$ che ad ogni funzione "test" $\phi$ associa il numero:
\[
\delta I_u[\phi] := \lim_{t\to 0} \frac{I[u+t\phi] - I}{t} = \left. \frac{\text{d}}{\text{d} t} I[u+t\phi]\right|_{t=0}\; .
\]
Per capirci, è come se stessi commettendo l'errore di confondere la derivata prima di una funzione reale in un punto, cioè il numero \(f^\prime (x_0)\), con il differenziale della stessa funzione nello stesso punto, cioè con l'applicazione \(\Delta x\mapsto f^\prime (x_0)\Delta x\).
grazie,penso di aver capito,ma conoscendo la variazione prima come riottengo il funzionale?
Detto rozzamente, cercando di fare i conti "al contrario", come per l'integrazione indefinita.
"gugo82":
Detto rozzamente, cercando di fare i conti "al contrario", come per l'integrazione indefinita.
Ah adesso ho capito. @mklplo: Tu hai una equazione differenziale e vuoi ritrovare un funzionale tale che le soluzioni dell'equazione ne siano i punti critici. Giusto?
Penso, di sì,non è che abbia proprio capito la domanda.
Sì, dissonance... La questione credo sia come si possa ricostruire un funzionale conoscendone l'equazione di Eulero-Lagrange o la variazione prima.
A quanto ne so, non c'è una tecnica standard e ci si muove sempre sugli stessi funzionali-modello (fondamentalmente perché le cose sono molto complicate appena si esce dalle strade già battute).
A quanto ne so, non c'è una tecnica standard e ci si muove sempre sugli stessi funzionali-modello (fondamentalmente perché le cose sono molto complicate appena si esce dalle strade già battute).
quindi ad esempio se sapessi che:
$ (dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(df(x_i))-nabla*(dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(dgradf(x_i))= $
$ 1/8(gradf*gradf)/(f^2)-1/4(grad^2f)/f $
cosa dovrei fare secondo voi per riottenere il funzionale?
$ (dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(df(x_i))-nabla*(dL(x_i,f(x_i),gradf(x_i)))/(dgradf(x_i))= $
$ 1/8(gradf*gradf)/(f^2)-1/4(grad^2f)/f $
cosa dovrei fare secondo voi per riottenere il funzionale?
Non lo so e scommetto che stai leggendo qualcosa di fisica: queste notazioni mi sembrano tipiche dei fisici. È una questione a cui a volte ho pensato, ma non sono mai arrivato a granché come conclusione. Però mi ricordo averne parlato con un signore che si occupa di cose analoghe, e mi disse che sostanzialmente un metodo non c'è, uno va a tentativi, come dice Gugo. Questo post: https://math.stackexchange.com/question ... agrange-eq
contiene un esercizio non banale su questo argomento, e mi ricordo che lo ho trovato istruttivo.
contiene un esercizio non banale su questo argomento, e mi ricordo che lo ho trovato istruttivo.
Grazie per l'aiuto a tutti e due,il problema che vi ho posto sopra l'ho preso da qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative
dove però spiega come calcolare l'equazione di Eulero-Lagrange del funzionale,io mi sono semplicemente posto la domanda di come ritornare indietro,di fatto so qual'è il valore del funzionale,perché lo dà l'esercizio ma non spiega come trovarlo.
https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative
dove però spiega come calcolare l'equazione di Eulero-Lagrange del funzionale,io mi sono semplicemente posto la domanda di come ritornare indietro,di fatto so qual'è il valore del funzionale,perché lo dà l'esercizio ma non spiega come trovarlo.
Diciamo che stai pian piano capendo che ci sono problemi "difficili", perché non ci sono ricette generali per risolverli.
E questo giustifica parzialmente i nostri inviti a non buttarti a capofitto in argomenti che hanno bisogno di un po' di maturità in più per essere affrontati.
O, se proprio vuoi farlo, comincia dalle cose semplici... Insomma, mettiti in dimensione $1$ (come si dice), cioè parti dal caso di lagrangiane dipendenti da una funzione di una variabile.
Inoltre, cerca quelche riferimento un po' meglio di wikipedia, soprattutto per quel che riguarda la notazione (che a volte è davvero raccapricciante).
Il contenuto dell'articolo, a parte sottigliezze, linkato è il seguente (notazioni un po' modificate da me, ma solo per quel che riguarda i nomi delle variabili).
Se ho una lagrangiana \(L(\mathbf{x}, u, \nabla u)\) definita in \(\mathbb{R}^{n+1+n}\), il simbolo (-orrendo!!!- di cui non conoscevo nemmeno l'esistenza):
\[
\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}
\]
denota la funzione che rappresenta la variazione prima del funzionale:
\[
I:=\int_{\Omega} L(\mathbf{x}, u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\ \text{d}\mathbf{x}
\]
nel senso delle distribuzioni, i.e. quella funzione tale che:
\[
\delta I_u[\phi] = \int_\Omega \frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}\ \phi (\mathbf{x})\ \text{d} \mathbf{x}\; .
\]
Il simbolo \(\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}\) si chiama derivata funzionale di $I$ (in $u$, immagino, ma non è specificato in wiki).
Si fanno un po' di conti e si vede che vale la formula che consente il calcolo sfruttando la lagrangiana:
\[
\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})} = \frac{\partial L}{\partial u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x})) - \nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\; .
\]
Qui, come d'uso sui testi di Fisica-Ingegneria, \(\nabla \cdot\) è l'operatore divergenza (rispetto alle variabili \(\mathbf{x}\)), mentre l'orrido simbolo \(\frac{\partial L}{\partial \nabla u}\) denota (a quanto mi pare di capire) il gradiente di $L$ rispetto alle ultime $n$ variabili da cui dipende.
Volendo tradurre tutto in notazioni meno orripilanti, chiamiamo \((\mathbf{x},u,\mathbf{v})\) il vettore delle variabili (numeriche!) da cui dipende $L$; allora la derivata funzionale di $I$ è l'applicazione:
\[
\frac{\partial I}{\partial u} = \frac{\partial L}{\partial u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x})) - \operatorname{div}\left( \nabla_\mathbf{v} L (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\right)
\]
in cui, ovviamente, il primo addendo è la derivata parziale di $L$ rispetto ad $u$ calcolata in \((\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\) ed il secondo è la divergenza (rispetto alle \(\mathbf{x}\)) della funzione composta che si ottiene calcolando il gradiente di $L$ rispetto alle \((\mathbf{v})\) sul vettore \((\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\).
Nel caso unidimensionale, la formula precedente diventa semplice:
\[
\frac{\partial I}{\partial u} = \frac{\partial L}{\partial u} (x,u(x),u^\prime (x)) - \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left( \frac{\partial L}{\partial v} (x,u(x),u^\prime (x))\right)\; ,
\]
e si vede che fondamentalmente la fantomatica derivata funzionale altro non è che il primo membro dell'equazione di Eulero-Lagrange per $I$ calcolata in $u$.
E questo giustifica parzialmente i nostri inviti a non buttarti a capofitto in argomenti che hanno bisogno di un po' di maturità in più per essere affrontati.
O, se proprio vuoi farlo, comincia dalle cose semplici... Insomma, mettiti in dimensione $1$ (come si dice), cioè parti dal caso di lagrangiane dipendenti da una funzione di una variabile.
Inoltre, cerca quelche riferimento un po' meglio di wikipedia, soprattutto per quel che riguarda la notazione (che a volte è davvero raccapricciante).
Il contenuto dell'articolo, a parte sottigliezze, linkato è il seguente (notazioni un po' modificate da me, ma solo per quel che riguarda i nomi delle variabili).
Se ho una lagrangiana \(L(\mathbf{x}, u, \nabla u)\) definita in \(\mathbb{R}^{n+1+n}\), il simbolo (-orrendo!!!- di cui non conoscevo nemmeno l'esistenza):
\[
\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}
\]
denota la funzione che rappresenta la variazione prima del funzionale:
\[
I:=\int_{\Omega} L(\mathbf{x}, u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\ \text{d}\mathbf{x}
\]
nel senso delle distribuzioni, i.e. quella funzione tale che:
\[
\delta I_u[\phi] = \int_\Omega \frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}\ \phi (\mathbf{x})\ \text{d} \mathbf{x}\; .
\]
Il simbolo \(\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})}\) si chiama derivata funzionale di $I$ (in $u$, immagino, ma non è specificato in wiki).
Si fanno un po' di conti e si vede che vale la formula che consente il calcolo sfruttando la lagrangiana:
\[
\frac{\delta I}{\delta u (\mathbf{x})} = \frac{\partial L}{\partial u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x})) - \nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\; .
\]
Qui, come d'uso sui testi di Fisica-Ingegneria, \(\nabla \cdot\) è l'operatore divergenza (rispetto alle variabili \(\mathbf{x}\)), mentre l'orrido simbolo \(\frac{\partial L}{\partial \nabla u}\) denota (a quanto mi pare di capire) il gradiente di $L$ rispetto alle ultime $n$ variabili da cui dipende.
Volendo tradurre tutto in notazioni meno orripilanti, chiamiamo \((\mathbf{x},u,\mathbf{v})\) il vettore delle variabili (numeriche!) da cui dipende $L$; allora la derivata funzionale di $I$ è l'applicazione:
\[
\frac{\partial I}{\partial u} = \frac{\partial L}{\partial u} (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x})) - \operatorname{div}\left( \nabla_\mathbf{v} L (\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\right)
\]
in cui, ovviamente, il primo addendo è la derivata parziale di $L$ rispetto ad $u$ calcolata in \((\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\) ed il secondo è la divergenza (rispetto alle \(\mathbf{x}\)) della funzione composta che si ottiene calcolando il gradiente di $L$ rispetto alle \((\mathbf{v})\) sul vettore \((\mathbf{x},u(\mathbf{x}), \nabla u(\mathbf{x}))\).
Nel caso unidimensionale, la formula precedente diventa semplice:
\[
\frac{\partial I}{\partial u} = \frac{\partial L}{\partial u} (x,u(x),u^\prime (x)) - \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left( \frac{\partial L}{\partial v} (x,u(x),u^\prime (x))\right)\; ,
\]
e si vede che fondamentalmente la fantomatica derivata funzionale altro non è che il primo membro dell'equazione di Eulero-Lagrange per $I$ calcolata in $u$.
Grazie ancora per la risposta.
Quindi se io sapessi che:
$ (partialI)/(partialu)=1/4((u')^2-u''u)/u^2-1/8(u')^2/u^2 $
e quindi
$ L-u'(dL)/(du')=int1/4((u')^2-u''u)/u^2-1/8(u')^2/u^2du=-1/4(u')^2/u-u''ln(u)+1/8(u')^2/u $
cosa dovrei fare per trovarmi "L"?
Se non ti dispiace potreste aiutarmi a trovare un modo per rispondere a questa domanda
Quindi se io sapessi che:
$ (partialI)/(partialu)=1/4((u')^2-u''u)/u^2-1/8(u')^2/u^2 $
e quindi
$ L-u'(dL)/(du')=int1/4((u')^2-u''u)/u^2-1/8(u')^2/u^2du=-1/4(u')^2/u-u''ln(u)+1/8(u')^2/u $
cosa dovrei fare per trovarmi "L"?
Se non ti dispiace potreste aiutarmi a trovare un modo per rispondere a questa domanda
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